Teoria de números/Divisibilidade

A teoria de números é a área da matemática em que é estudado o anel dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é denotado por $\mathbb {Z}$, sendo que:

$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$

O conjunto $\mathbb {Z}$ pode ser definido formalmente a partir do conjunto dos números naturais $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ e estes, a partir dos axiomas de Peano. Para maiores detalhes sobre o assunto pode ser consultado o "capítulo específico" do wikilivro sobre álgebra abstrata, ou o livro de Milies & Coelho (2003).

O conjunto dos números inteiros é definido juntamente com duas operações: a adição e a multiplicação.

A estrutura aditiva dos números inteiros é trivial. Acompanhe os exemplos:

-2	-1	0	1	2	3	4	$\ldots$
$-1-1$	$\mathbf {-1}$	$1-1$	$\mathbf {1}$	$1+1$	$(1+1)+1$	$(1+1)+(1+1)$	$\ldots$

Como se pode observar, qualquer número inteiro pode ser "formado aditivamente" a partir do número 1. Nesse sentido, a unidade é o "bloco básico" a partir do qual são construídos todos os números inteiros, usando-se as propriedades da operação de adição (como por exemplo a associatividade e a existência de elemento oposto).

Além disso, dado um número inteiro, sua decomposição em "blocos básicos" é essencialmente uma só. Por exemplo, se considerarmos o número 5, teremos:

$\mathbf {5} =2+2+1=(1+1)+(1+1)+1$

$\mathbf {5} =2+1+2=(1+1)+1+(1+1)$

No entanto, a única diferença entre duas representações do 5 é a posição dos parêntesis. Não há uma mudança significativa.

Já a estrutura multiplicativa de $\mathbb {Z}$ é muito mais sofisticada. Veja alguns exemplos:

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	$\ldots$
bloco básico	bloco básico	$2\cdot 2$	bloco básico	$2\cdot 3$	bloco básico	$(2\cdot 2)\cdot 2$	$3\cdot 3$	$2\cdot 5$	bloco básico	$(2\cdot 2)\cdot 3$	$\ldots$

Como deve ter percebido, quando se trata da operação de multiplicação, não existe um único bloco básico que gere todos os outros números. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 não têm como ser obtidos a partir da multiplicação de dois números inteiros (além de 1 e eles próprios), mas permitem gerar outros números: $6=2\cdot 3$, $10=2\cdot 5$ e assim por diante. Parece razoável que todos os inteiros podem ser gerados dessa maneira, bastando encontrar os blocos básicos adequados.

Mas será que mesmo sendo necessários mais "blocos básicos" para a estrutura multiplicativa que para a aditiva, um número inteiro sempre será decomposto de forma única em tais blocos?

Como foi visto, isso é o que acontece na estrutura aditiva. No entanto, para responder (de forma afirmativa) a esta pergunta, será necessário definir o conceito de divisibilidade, e conhecer de suas algumas propriedades. Este é o conteúdo da próxima seção.

Definição de divisibilidade

Definição

Dados os inteiros $a$ e $b$, diz-se que "$a$ divide $b$" e escreve-se $a|b$, se existe um inteiro $c$ tal que $b=a\cdot c$. Alternativamente, $a|b$ pode ser lido como "$a$ é divisor de $b$", "$a$ é um fator de $b$" ou "$b$ é múltiplo de $a$". Quando não se tem $a|b$, escreve-se $a\not |b$.

O conceito apresentado acima define uma relação binária no conjunto dos números inteiros: a divisibilidade.

Lembre-se que uma relação binária sobre $\mathbb {Z}$ é qualquer subconjunto $R$ do conjunto das partes de $\mathbb {Z}$, $P(\mathbb {Z} )$. No caso da divisibilidade, tem-se:

$R=\{(a,b)|a{\mbox{ divide }}b\}$

Nesses termos, quando $(a,b)\in R$ costuma-se dizer que $a$ está relacionado com $b$ escrevendo-se $aRb$.

Propriedades da divisibilidade

A relação de divisibilidade possui as seguintes propriedades, para quaisquer (salvo indicação em contrário) inteiros $a,b,c,d,r,s$:

1. $a|a$	(reflexividade)
2. $a|b$ e $b|c$ implica $a|c$	(transitividade)
3. $a|b$ e $b|a$ implica $a=b$ ou $a=-b$
4. $c|a$ e $c|b$ implica $c|ra+sb$	(linearidade)
5. $a|b$ e $c|d$ implica $ac|bd$
6. $a|b$ implica $ac|bc$	(multiplicatividade)
7. $ac|bc$ e $c\not =0$ implica $a|b$	(lei do cancelamento)
8. $1|a$	($1$ divide todo número inteiro)
9. $a|0$	(todo número inteiro divide zero)
10. $0|a$ implica $a=0$	(zero só divide zero)
11. $a|1$ implica $a=\pm 1$	(os divisores de 1 são 1 e -1)
12. $a|b$ e $b\not =0$ implica $|a|\leq |b|$	(compatibilidade com a ordem "$\leq$")
13. $a|b$ e $a\not =0$ implica $(b/a)|b$

1. Como $a=1.a$ segue da definição que $a|a$.

2. Se $a|b$ e $b|c$, então existem $q_{1},q_{2}\in \mathbb {Z}$ tais que $b=aq_{1}$ e $c=bq_{2}$, logo $c=aq_{1}q_{2}$ e portanto $a|c$.

3. $a|b$ implica que $a\geq b$. E se $b|a$, então $b\geq a$. Logo como $a$ não pode ser menor que $b$ e $b$ não pode ser menor que $a$ ao mesmo tempo, temos que $a=b$. $a=-b$ e $-b=a$ também são possíveis, já que a diferença entre $b/a$ e $b/-a$ é somente o sinal do quociente. O mesmo vale para $b/a$ e $-b/a$.

4. Como $c|a$ e $c|b$ temos que $a=q_{1}c$ e $b=q_{2}c$ com $q_{1}$ e $q_{2}$ $\in \mathbb {Z} .$. Multiplicando a primeira igualdade por $r$ e a segunda por $s$, temos $ra=rq_{1}c$ e $sb=sq_{2}c$. Somando membro a membro e colocando $c$ em evidência: $ra+sb=(rq_{1}+sq_{2})c$ daí como $rq_{1}+sq_{2}$ é inteiro segue por definição que $c|ra+sb$.

5. Tendo $a|b$ e $c|d$, podemos transformar $a|b$ e $c|d$ em equações: $b/a=x$ e $d/c=y$, sendo $x$ e $y$ os quocientes das divisões. Multiplicando ambas as equações temos: $bd/ac=xy$. Assim, já que $xy$ é o quociente da divisão $bd/ac$ (cujo resto $=0$), temos que $ac|bd$.

6. Adicionando fatores comuns no dividendo e divisor da equação $b/a=x$ (divisão exata), que implica em $a|b$; não altera o resultado da divisão, pois: $bc/ac=(b/a)(c/c)$. Como $c/c=1$: $(b/a)(c/c)=1(b/a)=b/a$. Assim $b/a=bc/ac$, que implica em $ac|bc$.

7. Como $a|b$ vem de $b/a=x$ (c = quociente), $ac|bc$ vem de $bc/ac=x$, no qual podemos tirar $c$ da divisão, já que ele é um fator comum no dividendo e divisor de $bc/ac$. Assim $ac|bc=a|c$.

8. $1a=a$ implica que $a/1=a$. Assim $1|a$.

9. $0a=0$ implica que $0/a=0$. Logo $a|0$.

10. $a|0$ pode ser transformado em $a/0=x$. Como não existe divisão por 0 (já que tendo $0x=0$ e não existe número que multiplicado por 0 dê x </math>), o único número que pode estar no dividendo é 0. Logo $0|a$ implica em $a=0$.

11. $a|1$ implica que $1/a$. Como os divisores de $1=1;-1$, temos que $a=\pm 1$.

12. Como $a|b$ e $b\neq 0$ podemos escrever $b=aq$ com $q\neq 0$. Assim, $|q|\geq 1$ e $|b|=|a||q|\geq |a|$.

13. Transformando $a|b$ em equação, temos $b/a=c$. Utilizando-se da propriedade da divisão: tendo $b/a=c$ podemos inverter o quociente e o divisor (já que $(quociente)(divisor)=dividendo$, e os fatores podem ser reordenados sem mudar o resultado) para termos: $b/c=a$. Assim:$b/a=c$ e $b/c=a$ implicam em $c|b=(b/a)|b$.

Observações

• A terceira propriedade seria chamada de anti-simetria, se não fosse necessário considerar o caso "$a=-b$". Quando são considerados apenas os números não-negativos (os elementos de $\mathbb {Z} _{+}$) a conclusão é apenas "$a=b$", e as propriedades de 1 a 3 fazem da divisibilidade uma relação de ordem parcial sobre $\mathbb {Z} _{+}$. No entanto, essa não é uma ordem total, pois nem todo par de elementos em $\mathbb {Z} _{+}$ é comparável, ou seja, existem inteiros não negativos $a$ e $b$, para os quais não se tem $a|b$ nem $b|a$.

• Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais $\mathbb {N}$ (o subconjunto dos inteiros não-negativos $\mathbb {Z} _{+}$) ou com os números naturais não nulos $\mathbb {N} ^{*}$ (os inteiros positivos $\mathbb {Z} _{+}^{*}$).

• As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo $a$, diferente de $1$, possui ao menos dois divisores, chamados de divisores triviais: $1$ e $a$. Os números que possuem somente estes divisores são de grande interesse na teoria de números, e serão estudados no próximo capítulo.

Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Nas aulas de matemática do ensino fundamental, é possível que você tenha aprendido algumas regras (ou critérios) para saber rapidamente se um certo número é divisível por outro. Por exemplo, você identifica rapidamente que um número é par quando nota que o seu último dígito é par, assim como reconhece de imediato os múltiplos de 5, pois sabe que o seu dígito das unidades é sempre 0 ou 5.

O que talvez você não saiba é que podem ser deduzidos critérios de divisibilidade para vários outros números, senão todos, embora nem sempre tais regras sejam simples e fáceis de memorizar. Uma listagem das regras mais populares é apresentada na próxima tabela. Note que as regras descritas transformam um certo número em outro, geralmente menor, que preserva a divisibilidade pelo divisor em questão. Além disso, sempre que não fica claro se um número é múltiplo de certo divisor, a mesma regra pode ser aplicada novamente ao resultado já obtido, até que se torne evidente se determinado resultado é ou não divisível pelo divisor em questão.

Um número é divisível por...	quando...	Exemplos
1	sempre!	Qualquer número inteiro é divisível por 1.
2	seu dígito das unidades é par (ou seja, 0, 2, 4, 6, ou 8).	1 294 é par, pois 4 é par.
3	é divisível por 3 a soma dos seus dígitos.	405 é divisível por 3, pois 4 + 0 + 5 = 9, que é múltiplo de 3.
4	é divisível por 4 o dígito das unidades somado com o dobro do dígito das dezenas.	5 096 é múltiplo de 4, pois 6 + (2 × 9) = 24 que é múltiplo de 4
	é divisível por 4 o número formado pelos dois últimos dígitos.	70 841 não é divisível por 4, pois 41 não é.
5	o dígito das unidades é 0 ou 5.	123 456 7890 é divisível por 5, já que seu último dígito é 0.
6	é divisível por 2 e por 3.	24 é divisível por 6, já que seu é múltiplo de 2 e de 3.
	é divisível por 6 a soma do dígito das unidades com o quádruplo da soma dos demais dígitos.	12 348 é divisível por 6, pois (1 + 2 + 3 + 4) × 4 + 8 = 48
7	vale qualquer dessas propriedades:
	é divisível por 7 a soma alternada dos números formados pelos blocos de três dígitos (da direita para esquerda).	1 369 851 é divisível por 7, pois 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	é divisível por 7 a soma do número formado pelos dois últimos dígitos com o dobro do número formado ao desconsiderar estes dígitos.	364 é divisível por 7, uma vez que (3 × 2) + 64 = 70.
	é divisível por 7 a soma do quíntuplo do último dígito com o número formado pelos dígitos restantes.	364 é divisível por 7, já que 36 + (4 x 5) = 56.
	é divisível por 7 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o dobro deste dígito.	364 é divisível por 7, pois 36 − (4 x 2) = 28.
8	vale qualquer dessas propriedades:
	o dígito das centenas é par e o número formado pelos dois últimos dígitos é divisível por 8.	12 345 624 é divisível por 8, pois 6 é par e 24 = 3 x 8.
	o dígito das centenas é ímpar e o número formado pelos dois últimos dígitos, somado com 4 é divisível por 8.	12 352, é múltiplo de 8, já que 3 é ímpar e 52 + 4 = 56 = 7 x 8.
	é divisível por 8 a soma do último dígito com o dobro do número formado pelos demais.	136 é divisível por 8, uma vez que (13 × 2) + 6 = 32.
9	é divisível por 9 a soma dos seus dígitos.	3 753 é múltiplo de 9, pois 3 + 7 + 5 + 3 = 18 e 1 + 8 = 9
10	o último dígito é 0.	135790 é múltiplo de 10, pois seu último dígito é 0.
11	vale qualquer dessas propriedades:
	é divisível por 11 a soma alternada dos seus dígitos.	918 082 é múltiplo de 11, pois 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 x 11.
	é múltiplo de 11 a soma dos números formados pelos blocos de dois dígitos (da direita para a esquerda).	627 é múltiplo de 11, pois 6 + 27 = 33 = 3 x 11.
	é múltiplo de 11 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o último dígito.	627 é múltiplo de 11, já que 62 - 7 = 55 = 5 x 11..

Por que esses critérios funcionam?

Diante de tantas regras, é natural não acreditar de imediato que elas sejam todas infalíveis. Você já deve ter feito (ou ouvido alguém fazer) pelo menos uma pergunta desse tipo:

Quem disse que esses macetes funcionam sempre?

Por acaso alguém já testou algum deles para todos os números, e viu que nunca falham?

Quem é que impôs essas regras?

É possível encontrar um critério para os números que não estão na tabela?

Antes de responder a essas e outras perguntas do gênero, é interessante apresentar um resultado fundamental da teoria de números. O enunciado não deve parecer uma grande novidade, pois formaliza o tão conhecido algoritmo de divisão, aquele processo utilizado ao dividir dois números manualmente. Se estiver um pouco "enferrujado", experimente calcular o resultado da divisão de 39629376 por 321, para relembrar as suas primeiras aulas de matemática...

Algoritmo da divisão (de Euclides)

Teorema

Se $a$ e $b$ são números inteiros, e $b\not =0$, então existe um único par de números inteiros $q$ e $r$, tais que:

$a=bq+r$, com $0\leq r<|b|$

Uma formulação alternativa é a seguinte:

Dados os números inteiros $a$ e $b$, ou $a$ é múltiplo de $b$ ou está entre dois múltiplos consecutivos de $b$.

Demonstração

Considere inicialmente que $a>0$. Se $X=\{a-bt:t\in \mathbb {Z} \}\subseteq \mathbb {Z}$, então $X'=X\cap \mathbb {N} \not =\emptyset$ (pois para $t=0$ tem-se $a-bt=a>0$). Logo, pelo princípio da boa ordenação, $X'$ possui um menor elemento $r=min(X')$. Como $r\in X'$, segue que $r=a-bq$, para algum inteiro $q$, e $r\geq 0$. Suponha que $0<b$. Neste caso, segue que $r<b$. De fato, se ocorresse $r\geq b$, então $r'=r-b=(a-bq)-b=a-b(q+1)$ seria elemento de $X'$. Além disso, $0\leq r'$ e $r'<r$ (pois $0<b$), donde $r$ não seria o menor elemento de $X'$. Por outro lado, se $b\leq 0$, então o algoritmo pode ser aplicado a $a$ e $-b$ (que não é negativo), obtendo: $a=(-b)q+r=b(-q)+r$, com $0\leq r<-b=|b|$ Quanto à unicidade do quociente e do resto, pode-se proceder da seguinte maneira: Seja $a=mq+r=mq'+r'$, com $0\leq r<m$ e $0\leq r'<m$. Nestas condições, tem-se: $0=m(q-q')+(r-r')$, ou seja, $r-r'\in m\mathbb {Z}$ Por outro lado, como o valor de cada resto está entre $0$ e $m$, sua diferença também está. Isto significa que: $r'-r\leq r'<m$ $r-r'\leq r<m$ Logo, $|r'-r|<m$ Mas o único elemento de $m\mathbb {Z}$ com módulo menor que $m$ é o $0$. Assim, $r'-r=0$ implica $r'=r$. Consequentemente, de $mq+r=mq'+r'$ se conclui que $mq=mq'$, que equivale a $q=q'$, pois $m\not =0$.

Um último passo antes de apresentar a justificativa formal para os critérios de divisibilidade mostrados anteriormente é entender como funciona o sistema de numeração decimal.

Sistemas de numeração

Conforme é ensinado nos primeiros anos de escola, um número como 726 representa a soma de 7 centenas com 2 dezenas e 6 unidades, ou seja,

$726=\mathbf {7} \cdot 100+\mathbf {2} \cdot 10+\mathbf {6} \cdot 1$

Em geral, cada número inteiro não negativo possui uma única representação decimal $a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$. Este é um resultado de extrema utilidade no cotidiano, pois é graças a tal sistema de numeração que estão a disposição algoritmos tão simples para a realização de adições, subtrações, multiplicações e divisões. Ou você é capaz de se imaginar realizando uma divisão de 646 por 38 utilizando o sistema de numeração inventado pelos romanos? (Experimente: DCXLVI dividido por XXXVIII é igual a...)

Dada a importância do sistema de numeração decimal, é justo enunciar e justificar precisamente o seu funcionamento. Isso é feito no próximo teorema, que garante a existência de representações posicionais em qualquer base, não apenas na base 10.

Teorema

Dado um numero inteiro $b$ (chamado de base), maior do que a unidade, cada inteiro positivo $a$ pode ser escrito de uma única maneira como

$a=a_{n}\cdot b^{n}+a_{n-1}\cdot b^{n-1}+\ldots +a_{1}\cdot b+a_{0}$

de modo que cada inteiro $a_{i}$ verifique $a_{i}\in [0,b)$, $a_{n}\not =0$ e $n\geq 0$.

Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:

$a=q_{0}b+a_{0}$

Fazendo o mesmo com $q_{0}$, resulta:

$q_{0}=q_{1}b+a_{1}$

Repetindo o procedimento com cada quociente $q_{i}$, será construída uma sequência decrescente:

$a>q_{0}>q_{1}>q_{2}>\ldots$

Certamente algum termo da sequência deve ser igual a unidade, pois todos são números inteiros e nenhum deles é negativo. Então considere que $q_{n}=1$, ou seja, que o algoritmo da divisão fornece $q_{n-1}=1\cdot b+0$. Neste ponto o processo pode ser interrompido, e nota-se que:

$a$	$=q_{0}b+a_{0}$
	$=(q_{1}b+a_{1})b+a_{0}$	$=q_{1}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}$
	$=((q_{2}b+a_{2})b+a_{1})b+a_{0}$	$=q_{2}\cdot b^{3}+a_{2}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}$
	$\vdots$
	$=((???)b+a_{1})b+a_{0}$	$=a_{n}\cdot b^{n}+\ldots +a_{2}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}$

Observações

• Quando a base não é 10, é comum usar a notação $(a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0})_{b}$ para explicitar esse fato.
• Os sistemas que utilizam a base 2 (binário), a base 8 (octal) e a base 16 (hexadecimal) são particularmente úteis na informática e na eletrônica digital.
• O sistema de numeração com base 60 (sexagesimal) foi inventado pelos Sumérios, e ainda é utilizado para a contagem de minutos e segundos, tanto para indicar períodos de tempo quanto para medir ângulos.

Exemplos

De posse dessas informações, já é possível demonstrar a validade dos critérios de divisibilidade dados pela tabela anterior. Nos próximos exemplos serão demonstrados alguns desses critérios. Os demais são deixados como exercício para o leitor.

Divisibilidade por 2

Proposição

Um inteiro não negativo é par, e somente se, o dígito das unidades é par.

Demonstração

Considere um número inteiro positivo cuja representação decimal é $m=a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$. Para mostrar que $2|m$ se, e somente se, $2|a_{0}$, note que: $10=2\times 5$ $100=2\times 50$ $\ldots$ e em geral: $10^{n}=2\times 5\times 10^{n-1}$ Portanto: $m=a_{n}10^{n}+\ldots +a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}=2\times (5a_{n}10^{n-1}+\ldots +5a_{2}10^{1}+5a_{1})+a_{0}$ Assim, $m=2k+a_{0}$, com $k=5a_{n}10^{n-1}+\ldots +5a_{2}10^{1}+5a_{1}$ Deste modo, se $2|m$, então $2|m-2k=a_{0}$. Reciprocamente, se $2|a_{0}$ tem-se $2|2k+a_{0}=m$.

Divisibilidade por 3

Proposição

Um inteiro não negativo é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos é múltiplo de 3.

Demonstração

Seja $m=a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}$ um número inteiro positivo. Como no exemplo anterior, o principal é considerar as potências de 10 e os restos de suas divisões por 3. Primeiramente, note que: $10^{k}=\underbrace {9\ldots 99} _{k-1}+1=3\times \underbrace {3\ldots 33} _{k-1}+1=3T_{k-1}+1$ onde $T_{k}=\underbrace {3\ldots 33} _{k}=3\times \sum _{i=0}^{k-1}10^{i}$ é o número que possui todos os seus $k$ dígitos iguais a 3. Esta última igualdade é devida à fórmula clássica para a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica). Substituindo essas potências de 10, obtem-se: $m=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(3T_{k-1}+1)=\sum _{k=0}^{n}3a_{k}T_{k-1}+a_{k}=3\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k-1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ ou seja, $m=3T+S$, onde $T=\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k-1}$ e $S=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ é a soma dos dígitos de $m$. Deste modo, se $3|m$, então $3|m-3T=S$. Analogamente, se $3|S$ tem-se $3|3T+S=m$.

Divisibilidade por 11

Proposição

Um inteiro não negativo é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada dos seus dígitos é divisível por 11.

Demonstração

Como antes, considere $m=a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}$ um número inteiro positivo. Pode-se proceder como antes para obter o resultado. Primeiramente, observe a relação entre as primeiras potências de 10 e o número 11: $10^{0}=11\times 0+1$ $10^{1}=11\times 1-1$ $10^{2}=11\times 9+1$ $10^{3}=11\times 91-1$ $10^{4}=11\times 909+1$ É razoável esperar que o padrão continue, ou seja, que nas potências pares se tenha $10^{k}=11\times B_{k}+1$ para algum inteiro $B_{k}$, e nas potências ímpares se tenha $10^{k}=11\times B_{k}-1$ para algum inteiro $B_{k}$. No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo número da forma $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ é primo), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que: $10^{k}=11\times B_{k}+(-1)^{k}$, para algum inteiro $B_{k}$. Para tal usaremos o binómio de Newton: $10^{k}=(11-1)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}11^{i}(-1)^{k-i}=(-1)^{k}+11(-1)^{k-1}+11^{2}{\frac {k!}{2!(k-2)!}}(-1)^{k-2}+\ldots +11^{k}=$ $(-1)^{k}+11\left((-1)^{k-1}+11{\frac {k!}{2!(k-2)!}}(-1)^{k-2}+\ldots +11^{k-1}\right),$ ou seja, $10^{k}=(-1)^{k}+11\times B_{k},$onde $B_{k}=\sum _{i=1}^{k}{\binom {k}{i}}11^{i-1}(-1)^{k-i}.$ Uma vez que o padrão está justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior: $m=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(11\times B_{k}+(-1)^{k})=\sum _{k=0}^{n}11a_{k}B_{k}+a_{k}(-1)^{k}=11\sum _{k=0}^{n}a_{k}B_{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}(-1)^{k}$ ou seja, $m=11B+A$, onde $B=\sum _{k=0}^{n}a_{k}B_{k}$ e $A=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(-1)^{k}$ é a soma alternada dos dígitos de $m$. Deste modo, se $11|m$, então $11|m-11B=A$. Analogamente, se $11|A$ tem-se $11|11B+A=m$.

Exercícios

1. Justifique a validade de cada uma das propriedades da divisibilidade apresentadas no texto.