Teoria dos conjuntos/Axioma da escolha

Axioma da escolha

Este é, sem dúvida, o mais controverso dos axiomas. Os demais axiomas, ao dizerem que determinado conjunto existe (ou não existe), sempre exibem como este conjunto é formado, e, usando-se o axioma da extensão, quase sempre chega-se a um conjunto único.

O axioma da escolha é diferente. Ele diz que determinado conjunto existe, mas não dá nenhuma pista sobre como este conjunto pode ser construído. Vários matemáticos importantes rejeitaram este axioma, e, para consubstanciar a rejeição, apresentaram resultados aparentemente paradoxais para justificar a rejeição.

Um dos argumentos mais interessantes é o paradoxo de Banach-Tarski, que, usando uma construção baseada no axioma da escolha, divide uma esfera em um número finito de partes, aplica translações e rotações a estas partes, e remonta duas esferas idênticas à primeira.

O axioma é apresentado sob várias formas equivalentes. Estas formas serão apresentadas abaixo:

  • se o conjunto vazio não é elemento de um conjunto, então existe uma função-escolha neste conjunto
  • todo conjunto pode ser bem-ordenado
  • se um conjunto for dividido em classes de equivalência, então existe um conjunto com um representante de cada classe
  • Lema de Zorn

Função escolhaEditar

Uma função escolha em um conjunto A é uma função:

 

em que  . Por exemplo, no conjunto  , uma função escolha poderia ser dada pelo gráfico  . Obviamente, outras funções-escolha são possíveis neste conjunto, como, por exemplo, a função constante  

Note-se que se  , então   não pode ter função escolha, porque não há como satisfazer  .

O axioma da escolha diz que este é o único caso em que não existe função-escolha. Ou seja:

 

Todo conjunto pode ser bem-ordenadoEditar

Já vimos o que é uma relação bem-ordenada em um conjunto  : ela é definida por  , em que   é um conjunto de pares ordenados de elementos de   com:

  •   (transitividade).
  •   (aliorrelatividade).
  •   (ordem total)
  •   (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)

O axioma da bem-ordenação diz que para todo conjunto   existe uma relação bem-ordenada em  .

Representantes das classes de equivalênciaEditar

Em resumo, uma relação de equivalência em um conjunto   é uma relação   satisfazendo:

  •   (reflexividade).
  •   (simetria).
  •   (transitividade).

Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto   em classes de equivalência, que é construir o conjunto   definido como um subconjunto do conjunto das partes de   por:

 

É fácil mostrar que para todo elemento  , existe uma (e apenas uma) classe de equivalência   com  .

Temos também que se duas classes de equivalência são diferentes, então elas são disjuntas.

A versão do axioma da escolha diz que se um conjunto tem a propriedade acima, então podemos escolher um representante de cada classe, de forma que a interseção de qualquer classe com o conjunto de representantes seja um conjunto unitário.

Na linguagem formal:

 

Lema de ZornEditar

Uma relação de ordem parcial em um conjunto é uma relação   satisfazendo:

  •   (transitividade)
  •   (aliorrelatividade)

Uma relação de ordem total em um conjunto é uma relação de ordem parcial com a propriedade de totalidade:

  •   (ordem total)

Fixando uma determinada relação de ordem parcial em  , temos:

  • Um subconjunto   é uma cadeia quando   for totalmente ordenado pela relação, ou seja,  
  • Um elemento   é uma quota superior de um subconjunto   quando  
  • Um elemento   é maximal se  

O Lema de Zorn diz que, se toda cadeia tem uma quota superior, então existe um elemento maximal.

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Axioma da escolha