Teoria dos conjuntos/Axioma da escolha
Axioma da escolha
Este é, sem dúvida, o mais controverso dos axiomas. Os demais axiomas, ao dizerem que determinado conjunto existe (ou não existe), sempre exibem como este conjunto é formado, e, usando-se o axioma da extensão, quase sempre chega-se a um conjunto único.
O axioma da escolha é diferente. Ele diz que determinado conjunto existe, mas não dá nenhuma pista sobre como este conjunto pode ser construído. Vários matemáticos importantes rejeitaram este axioma, e, para consubstanciar a rejeição, apresentaram resultados aparentemente paradoxais para justificar a rejeição.
Um dos argumentos mais interessantes é o paradoxo de Banach-Tarski, que, usando uma construção baseada no axioma da escolha, divide uma esfera em um número finito de partes, aplica translações e rotações a estas partes, e remonta duas esferas idênticas à primeira.
O axioma é apresentado sob várias formas equivalentes. Estas formas serão apresentadas abaixo:
- se o conjunto vazio não é elemento de um conjunto, então existe uma função-escolha neste conjunto
- todo conjunto pode ser bem-ordenado
- se um conjunto for dividido em classes de equivalência, então existe um conjunto com um representante de cada classe
- Lema de Zorn
Função escolha
editarUma função escolha em um conjunto A é uma função:
em que . Por exemplo, no conjunto , uma função escolha poderia ser dada pelo gráfico . Obviamente, outras funções-escolha são possíveis neste conjunto, como, por exemplo, a função constante
Note-se que se , então não pode ter função escolha, porque não há como satisfazer .
O axioma da escolha diz que este é o único caso em que não existe função-escolha. Ou seja:
Todo conjunto pode ser bem-ordenado
editarJá vimos o que é uma relação bem-ordenada em um conjunto : ela é definida por , em que é um conjunto de pares ordenados de elementos de com:
- (transitividade).
- (aliorrelatividade).
- (ordem total)
- (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)
O axioma da bem-ordenação diz que para todo conjunto existe uma relação bem-ordenada em .
Representantes das classes de equivalência
editarEm resumo, uma relação de equivalência em um conjunto é uma relação satisfazendo:
- (reflexividade).
- (simetria).
- (transitividade).
Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto em classes de equivalência, que é construir o conjunto definido como um subconjunto do conjunto das partes de por:
É fácil mostrar que para todo elemento , existe uma (e apenas uma) classe de equivalência com .
Temos também que se duas classes de equivalência são diferentes, então elas são disjuntas.
A versão do axioma da escolha diz que se um conjunto tem a propriedade acima, então podemos escolher um representante de cada classe, de forma que a interseção de qualquer classe com o conjunto de representantes seja um conjunto unitário.
Na linguagem formal:
Lema de Zorn
editarUma relação de ordem parcial em um conjunto é uma relação satisfazendo:
- (transitividade)
- (aliorrelatividade)
Uma relação de ordem total em um conjunto é uma relação de ordem parcial com a propriedade de totalidade:
- (ordem total)
Fixando uma determinada relação de ordem parcial em , temos:
- Um subconjunto é uma cadeia quando for totalmente ordenado pela relação, ou seja,
- Um elemento é uma quota superior de um subconjunto quando
- Um elemento é maximal se
O Lema de Zorn diz que, se toda cadeia tem uma quota superior, então existe um elemento maximal.