Teoria dos conjuntos/Axioma do infinito
Axioma do infinito
Já vimos vários processos que constroem conjuntos cada vez maiores. Por exemplo, aplicando-se o axioma do par da forma {x}, partindo-se do conjunto vazio, obtemos {}, {{}}, {{{}}}, {{{{}}}}, ....
Ou, aplicando-se o sucessor a partir do conjunto vazio, obtemos 0, 1, 2, 3, .... Pelos axiomas até agora vistos, estas listas não são conjuntos.
O axioma do infinito diz que existe um conjunto que é {0, 1, 2, 3, ...}. A aplicação dos outros axiomas permite construir outros conjuntos infinitos, tais como {0, 1, P(1), P(P(1)), ...}.
O axioma
editarO axioma diz que existe um conjunto que tem o conjunto vazio como elemento e que, para cada elemento, tem o seu sucessor.
Simbolicamente:
Conjunto dos números naturais
editarO conjunto dos números naturais é construído aplicando-se o axioma da extensão a algum conjunto definido pelo axioma do infinito.
No entanto, para podermos definir é preciso mostrar que, se temos dois conjuntos A e B que satisfazem o axioma do infinito, então os conjuntos e são iguais.
O problema é que precisamos dos demais axiomas para demonstrar isso. Por exemplo, sem usar o axioma da regularidade, não há como provar que um conjunto do tipo A = {0, 1, ..., A} não pode existir; este conjunto satisfaz à definição do axioma do infinito e é um número natural, mas é obviamente bem diferente do conjunto que imaginamos para .