Teoria dos conjuntos/Axioma da extensão

O axioma da extensão diz que a única coisa que distingue dois conjuntos são seus elementos. Ou seja, dois conjuntos são iguais se, e somente se, seus elementos são os mesmos. Como só existem conjuntos (ou seja, os elementos dos conjuntos são conjuntos), este axioma diz dois objetos são iguais quando seus elementos são os mesmos.

Formalmente, o axioma se escreve:

$\forall A\,\forall B\,(\forall C\,(C\in A\iff C\in B)\Rightarrow A=B)$

Subconjuntos

A expressão $\forall C\,(C\in A\implies C\in B)\,$ é usada para representar a noção de subconjunto, ou seja, definimos:

$A\subseteq B\,$

como

$\forall C\,(C\in A\implies C\in B)\,$

Segue-se imediatamente que:

$(A\subseteq B\land B\subseteq A)\iff A=B\,$

Um subconjunto é chamado de subconjunto próprio quando ele não é o próprio conjunto. Por definição:

$A\subset B\,$

significa que:

$A\subseteq B\land A\neq B\,$

Uma consequência das definições é o resultado seguinte:

$A\subset B\implies (\exists x\in B,x\not \in A)\,$

Em palavras: se A é um subconjunto próprio de B, então B possui algum elemento que não é elemento de A.

Propriedades

As propriedades seguintes são imediatas das definições, valendo para todos conjuntos A, B, C:

$A\subseteq B\land B\subseteq C\implies A\subseteq C\,$

$A\subseteq B\land B\subset C\implies A\subset C\,$

$A\subset B\land B\subseteq C\implies A\subset C\,$

$A\subset B\land B\subset C\implies A\subset C\,$