Teoria dos conjuntos/Conjuntos

Conjuntos e elementos

Quando a Teoria dos conjuntos foi apresentada no nível elementar (até o ensino secundário / ensino médio), foi necessário fazer a distinção entre conjunto e elemento.

Lembrando (ver livro Matemática elementar/Conjuntos):

• um conjunto é uma coleção de elementos, sem importar a ordem em que eles se apresentam;
• qualquer coisa pode ser um elemento.

Assim, temos que a Lua, o livro Dom Quixote, Napoleão, 5, etc são elementos, mas todos os cachorros do mundo, todos os satélites naturais ou artificias da Terra, os números naturais maiores que 4 e menores que 6 são conjuntos.

Isto até apresentarem o conjunto das partes, que é um conjunto cujos elementos são outros conjuntos.

Então, partindo-se do conjunto vazio, podemos construir seu conjunto das partes $\{\varnothing \}\,$, cujo único elemento é $\varnothing$, o conjunto das partes deste conjunto, $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\,$ de dois elementos, o conjunto das partes deste conjunto, $\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\,$ de quatro elementos, etc.

Pode-se até vislumbrar uma cadeia de infinitos conjuntos, cada um deles sendo o conjunto das partes do conjunto anterior. Que tal agora formar um conjunto cujos elementos são precisamente os elementos dos conjuntos desta cadeia? Este seria um conjunto imenso, com infinitos elementos - mas pode-se continuar criando conjuntos maiores, tomando-se o conjunto das partes deste monstro, e assim por diante.

Na Teoria dos conjuntos axiomática, não existe distinção entre elementos e conjuntos: um conjunto é uma coleção de outros conjuntos. Todos os conjuntos são, essencialmente, formados pelo processo acima, ou seja, na sua fundação está o conjunto vazio.

Fundamentos

A Teoria dos conjuntos axiomática, portanto, é fundamentada em apenas dois conceitos:

• A noção primitiva de conjunto;
• A expressão $x\in y\,$, em que x e y são conjuntos.

Diz-se que x é um elemento de y quando esta última expressão for verdadeira, e x não é um elemento de y quando esta expressão for falsa (neste caso escreve-se $x\not \in y\,$).

Usaremos também a notação $x\in y\in z,$ (e outras expressões parecidas) para representar $x\in y\land y\in z\,$ - note-se que $x\in y\in z\,$ não implica, necessariamente, que $x\in z\,$ (veremos que, em geral, isto não é válido). Tente imaginar uma situação que exemplifique este fato.

Pela experiência anterior, sabe-se que existe um conjunto $\varnothing \,$ com as seguintes propriedades notáveis:

• $\forall x,x\not \in \varnothing \,$

em palavras: o conjunto vazio não tem elemento

• $\forall x,(\not \exists y(y\in x)\implies x=\varnothing )\,$

em palavras: se um conjunto qualquer não tem elementos, então este é igual ao conjunto vazio.

Na Teoria axiomática dos conjuntos, estes dois resultados (resumidos em "o conjunto vazio existe e é único") são teoremas.

Existência

Um problema estético que se tem ao apresentar os axiomas da Teoria dos conjuntos é que os axiomas mais simples (aqueles que são apresentados no início) não garantem a existência de algum conjunto.

Na linguagem da Teoria dos modelos, o campo da lógica que estuda estruturas matemáticas que consubstanciam sistemas de axiomas, esta ideia é expressa por:

O conjunto vazio é um modelo da teoria que consiste dos axiomas de Zermelo-Fraenkel sem o axioma do infinito.

Isto porque todos os outros axiomas tem a expressão "Para todo conjunto X, bla bla bla". Então, se não existe nenhum conjunto na teoria, todos os axiomas são verdadeiros (ver artigo na Wikipédia em inglês, Vacuous truth).

Assim, para podermos entender e exemplificar os primeiros axiomas, será incluído um axioma adicional. Simplesmente, este axioma diz que existe pelo menos um conjunto:

$\exists x\,$