Teoria dos conjuntos/Revendo o axioma da separação

No texto do axioma da separação:

Se z é um conjunto e é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Ou, em sua forma mais genérica, qualquer fórmula na linguagem da teoria dos conjuntos com variáveis livres entre :

Um ponto que pode não ter ficado muito claro é que tipo de fórmula ou propriedade é admissível para Φ.

Este capítulo tem o objetivo de explorar estas fórmulas.

Exemplo: conjuntos unitários

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Seja Φ a propriedade definida como:

 

Em Português, o que esta propriedade afirma?

  - significa que x não é o conjunto vazio.
  - significa que se x tem algum elemento, então este elemento é igual ao y

Em outras palavras, Φ(x) expressa, na linguagem da teoria dos conjuntos, que x é um conjunto unitário.

Por exemplo, podemos demonstrar (exercício) que Φ(1), Φ({1}) e Φ({2}) são verdadeiros, e que  , Φ(2) e Φ({1,2}) são falsos.

Como aplicação do esquema de axiomas, seja A = {1, 2}. Então o conjunto   é o conjunto B = {1}.

Ao aplicar a propriedade Φ na formação de subconjuntos, deve-se tomar o cuidado de não repetir os símbolos. Se temos uma demonstração lógica que já utilizou os símbolos x, y ou z, devemos usar a definição de Φ trocando o símbolo por algum outro.

Note-se que, pelos axiomas até agora apresentados, a expressão   não denota um conjunto - aliás, é possível mostrar (usando uma variação do paradoxo de Russell) que este conjunto não existe, ou seja, que para todo conjunto A existe um conjunto unitário B que não é um elemento de A.

A fórmula do axioma

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A fórmula Φ do axioma deve ser uma fórmula bem formada, na linguagem da lógica clássica de primeira ordem.

Isto significa o seguinte:

  • Podem ser usadas constantes e fórmulas previamente definidas, e variáveis novas
  • Podem ser usados os conectivos lógicos da lógica proposicional (e, ou, não, implica, etc, combinados com parêntesis para mostrar prioridade de avaliação)
  • Variáveis devem ser introduzidas pelos quantificadores existe e para todo, e seu uso deve ser limitado à proposição que se segue ao quantificador.
  • Variáveis devem se relacionar entre si e com as constantes através unicamente de  , ou de outros símbolos definidos anteriormente por fórmulas bem formadas.
  • As fórmulas bem formadas são recursivas, ou seja, elementos de uma fórmula bem formada são fórmulas bem formadas.

Como exemplos, sendo A, B e C constantes:

  •   é um fórmula bem formada na variável x
  •   não é uma fórmula bem formada na variável x, porque x não está livre
  •   é uma fórmula bem formada na variável x
  •   é uma fórmula bem formada na variável x
  •   é uma fórmula bem formada nas variáveis x e y
  •   não é uma fórmula bem formada em x: y aparece em um quantificador ( ) dentro de uma expressão condicional a outro quantificador  )
  •   é uma fórmula bem formada na variável x (esta é uma das definições de um número ordinal)

Sementinha do mal

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Agora é um bom ponto para plantar uma sementinha do mal. O axioma diz explicitamente que para todo conjunto x e toda fórmula φ existe um subconjunto y dos elementos de x que satisfazem esta propriedade.

Uma pergunta interessante é inverter o enunciado do axioma: será que, para todo subconjunto y de x, existe uma fórmula bem formada φ (que, obviamente, seja livre de y) de modo que y seja definido através dela?

Esta pergunta aparentemente inocente tem profundas implicações, mas, por enquanto, ainda não temos ferramentas adequadas para explorá-la.