Teoria dos conjuntos/Axioma do par

Com os axiomas apresentados até agora (o axioma que diz que existe um conjunto, o axioma da extensão e o axioma da separação), já pudemos mostrar que o conjunto vazio, , existe e é único.

Mas não fomos capazes de exibir nenhum outro conjunto!

Uma teoria dos conjuntos cujo único conjunto seja o conjunto vazio não serve para muita coisa. Seria interessante haver pelo menos outro conjunto, e o candidato natural é o conjunto cujo único elemento é o próprio conjunto vazio.

Mas não podemos, pelos axiomas atuais, definir

porque esta não é uma definição de conjunto que se enquadra no axioma da separação.


O axioma do par é o que garante a existência deste tipo de conjunto. Na sua forma mais usual, ele garante até algo mais: dados dois conjuntos, existe um conjunto que tem estes dois conjuntos como elementos.

Como o axioma não obriga estes dois conjuntos a serem diferentes, podemos usá-lo para criar o conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio.

E assim por diante... Mas, como veremos abaixo, este "adiante" ainda não compreende todos os conjuntos que precisamos para ter uma teoria útil e prática.

O AxiomaEditar

Sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que   e  .

Nota: existem formulações alternativas do axioma, que dizem que C não tem outro elemento além de A e B, e que C é único, mas, junto com os axiomas da extensão e da separação, mostra-se que essas formulações são equivalentes.

Em linguagem matemática, o axioma se escreve assim:

 

Usando-se os axiomas da extensão e da separação, chega-se ao seguinte teorema:

 

Esboço da prova: o axioma da separação é usado para construir, a partir do z que existe, o conjunto

 

e o axioma da extensão garante que todos conjuntos z que satisfazem   são iguais.

Definição de { x, y }, { x } e {}Editar

Como esse conjunto que tem o par de conjuntos como elementos é único, podemos dar um nome para ele, a saber:

 

Como nada nos axiomas obriga x a ser diferente de y, definimos também:

 

Observação: por analogia, também é comum a notação

 

Generalizar esta notação, ou seja, definir o que seria {x,y,z} ainda não é possível: isto será visto com o axioma da união.

PropriedadesEditar

Segue-se imediatamente da definição que:

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Definição de 1 e 2Editar

Adotando-se a ideia de von Neumann [1], vamos definir os seguintes conjuntos:

 
 

e temos que parar por aqui, porque ainda não definimos o que significa {x, y, z} - e, pelos axiomas até agora listados, não sabemos se existe este tipo de conjunto.

Note-se (exercício: prove) que:

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As propriedades acima não são acidentais: quando definirmos os números naturais, elas serão válidas para todos os números. Iremos mais adiante: estas propriedades valerão para uma classe de conjuntos que amplia uma das funções normalmente atribuídas aos números naturais, que é ordenar elementos.

Note-se que as relações   e   não são sempre equivalentes. Por exemplo:

  •   mas   - porque  
  •   mas  

Par ordenadoEditar

O par ordenado também pode ser definido com o axioma do par. Esta definição se deve a Kuratowski[2]:

 

O teorema abaixo é de crucial importância para as aplicações do par ordenado:

 

Esboço da demonstração:

Conforme temos   ou  , combinado com   ou  , temos quatro casos possíveis. As propriedades do conjunto { a , b } resolvem trivialmente quase todos os casos, exceto quando  .

Mas, neste caso, temos, por   que   ou  . Este segundo caso só é possível quando z = w, o que já foi excluído antes. Assim, temos  , o que implica em x = z. Assim, sobra a igualdade  , ou  . Como já vimos que  , segue-se que y = w.

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Axioma do par

Referências

  1. Ver artigo na wikipedia Número ordinal
  2. Ver artigo na Wikipédia Par ordenado