Topologia/Axiomas de separação

Axiomas de separação são uma série de axiomas que descrevem de que forma um espaço topológico pode ser separado em partes menores; ou, mais precisamente, de que forma pontos e subconjuntos de um espaço topológico podem ser distinguidos através de propriedades topológicas.

O conceito básico dos axiomas de separação é que pontos e conjuntos do espaço possam ser distintos topologicamente, em outras palavras, que haja alguma propriedade topológica que permita distinguir estes elementos.

Por exemplo, dois pontos p e q, $p\neq q\,$ são topologicamente distintos quando existe um aberto A que contém um deles mas não contém o outro.

Na topologia grosseira, em que há apenas dois abertos (o conjunto vazio e o conjunto total), dois pontos quaisquer não são topologicamente distintos. Por outro lado, na topologia discreta, em que todos subconjuntos do espaço são abertos, dois pontos quaisquer são topologicamente distintos. Nos espaços métricos, igualmente, dois pontos quaisquer são topologicamente distintos. Assim, chama-se a esta propriedade o axioma T_{0 de separação:}

Um espaço é T₀ ou Kolmogorov quando dois pontos diferentes p e q podem ser distintos topologicamente.

Os demais axiomas de separação são formulados analogamente; pode ser exigida a existência simultânea de abertos disjuntos, a separação de conjuntos fechados ou a existência de funções contínuas.

Lista dos axiomas de separação

Os textos didáticos costumam diferir na apresentação dos axiomas, e na sua numeração; por exemplo, um espaço T3 deve ter a propriedade de que dado um conjunto fechado e um ponto externo, eles podem ser separados por abertos, porém alguns textos não exigem nenhum outro axioma, enquanto outros textos também existem o axioma T1.

Os axiomas são:

• Kolmogorov ou T0: dois pontos quaisquer são topologicamente distintos.
• T1: dois pontos quaisquer podem ser separados por abertos, ou seja, para todo a e b existem abertos U_a e U_b tais que cada ponto está em um aberto e não está no outro. Também chamado de espaço de Fréchet.
• Hausdorff ou T2: dois pontos quaisquer podem ser separados por abertos disjuntos.

A partir daqui, as definições costumam variar entre livros.

• Qualquer conjunto fechado e um ponto que não pertence a este conjunto podem ser separados por abertos. Algumas vezes chamado de T3.
• Espaço normal, quando satisfaz o axioma acima e é T1 (chamado, neste contexto, de T3) ou T2. Note que as duas definições são equivalentes, porque $T2\implies T1\implies T0\,$, e a propriedade acima combinada com T0 implica em T2.
• Qualquer conjunto fechado não vazio e um ponto que não pertence a este conjunto podem ser separados por funções contínuas.
• Espaço completamente regular ou $T3{\frac {1}{2}}\,$, quando satisfaz o axima acima e é T1.
• Dois conjuntos fechados disjuntos quaisquer podem ser separados por abertos. Algumas vezes chamado de T4, em outras vezes T4 exige este axioma e T1.
• Espaço normal, quando satisfaz a propriedade acima e é T1,algumas vezes chamado T4.
• T5, quando dois conjuntos disjuntos quaisquer podem ser separados por abertos.
• Espaço completamente normal, quando é normal e T5.

Espaço de Kolmogorov ou Espaço T0

Um espaço topológico é Kolmogorov ou T₀ quando dois pontos quaisquer são topologicamente distintos, ou seja, existe alguma propriedade topológica que distingue um ponto do outro. Mais precisamente:

Um espaço topológico é T₀ quando, para todos pontos x e y, existe um aberto A tal que $(x\in A\land \neg (y\in A))\lor (y\in A\land \neg (x\in A))\,$

Em palavras, dados dois pontos, existe um aberto que contém um deles mas não contém o outro.

Exemplo: espaços métricos são Kolmogorov, a topologia discreta é Kolmogorov, a topologia grosseira, em um espaço com dois ou mais pontos, não é Kolmogorov.

Em um espaço que não é Kolmogorov, é possível definir uma relação de equivalência, $x\sim y\,$ como sendo x e y são topologicamente indistinguíveis, ou, mais precisamente:

$x\sim y\,$ se não existe um aberto A que separe x e y

Em outras palavras:

$x\sim y\,$ se, para todo aberto A, temos que $x\in A\land y\in A\,$ ou $x\not \in A\land y\not \in A\,$

É fácil verificar, nesta relação, a propriedade reflexiva e simétrica; a propriedade transitiva pode ser vista quebrando-se nos quatro casos: sejam $x\sim y\,$ e $y\sim z\,$, e um aberto qualquer A, então temos:

1. $x\in A\land y\in A\,$ e $y\in A\land z\in A\,$, portanto $x\in A\land z\in A\,$
2. $x\in A\land y\in A\,$ e $y\not \in A\land z\not \in A\,$ - contradição em y
3. $x\not \in A\land y\not \in A\,$ e $y\in A\land z\in A\,$ - contradição em y
4. $x\not \in A\land y\not \in A\,$ e $y\not \in A\land z\not \in A\,$, portanto $x\not \in A\land z\not \in A\,$

Em outras palavras, se um espaço tem pontos topologicamente indistinguíveis, é como se estes pontos pudessem ser agrupados como se fossem um só. Ou seja, é possível ver a projeção canônica do espaço nas classes de equivalência como uma forma de colapsar pontos indistinguíveis.

Mais tecnicamente, seja K um espaço qualquer, e $\sim \,$ a relação de equivalência definida acima.

Seja:

$\pi :K\to K/\sim \,$

a projeção canônica que leva cada ponto em sua classe de equivalência, e tomemos em $K/\sim \,$ a topologia induzida pela projeção, ou seja, um conjunto U é aberto em $K/\sim \,$ se, e somente se, sua imagem inversa $\pi ^{-1}(U)\,$ é um aberto em K.

Então:

1. $\pi \,$ é uma função contínua
2. $K/\sim \,$ é um espaço de Kolmogorov
3. caso K também seja Kolmogorov (neste caso, cada elemento de $K/\sim \,$ é um conjunto da forma {x}, com $x\in K\,$) a função é um homeomorfismo

Prova: exercício.

Este espaço construído a partir de um espaço qualquer e da relação de equivalência entre pontos indistinguíveis se chama Quociente de Kolmogorov. Várias das propriedades topológicas estão presentes no espaço se, e somente se, estão presentes no seu quociente de Kolmogorov, mas há exceções (obviamente, as propriedades associadas aos axiomas de separação, além de outras).

Ver também

• Axiomas de separação, na Wikipédia.