Topologia/Conceitos básicos da teoria de conjuntos

Elemento, conjunto e a relação de pertinênciaEditar

Partes de um conjuntoEditar

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em, é subconjunto de ou ainda é parte de B quando todo elemento de A é elemento de B ou, simbolicamente, x ∈ A ⇒ x ∈ B. Neste caso, escrevemos A ⊂ B. Esta relação entre os conjuntos A e B é chamada relação de inclusão. Se trabalhamos com conjuntos dentro de algum universo, esta passa a ser uma relação de ordem. Isto quer dizer que, para quaisquer conjuntos A, B e C dentro deste universo, valem as três propriedades a seguir:
Reflexiva:  
Antissimétrica:  
Transitiva:  
Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto   cujos elementos são os subconjuntos de A. Ele nunca é vazio, já que   e  .

União, interseção e complementoEditar

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B cujos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A interseção de A e B é o conjunto A ∩ B cujos elementos pertencem a ambos os conjuntos A e B. Dado um conjunto A num conjunto universo U definimos o complemento de A como sendo o conjunto   formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Mais geralmente, a diferença dos conjuntos A e B é o conjunto   formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Se A e B se encontram no mesmo conjunto universo, temos  .

Com estas definições, temos algumas propriedades importantes:

  1.  ,   e  ;
  2.   e  ;
  3.   e  ;
  4.  ;
  5.   e  ;
  6.   e  ;
  7. (DeMorgan)   e  .

FamíliaEditar

Dados conjuntos X e Y, uma família em Y com índices em X é uma função fX → Y. Apesar de definida por uma função, a ideia de família se guarda no conjunto-imagem desta função, não na função em si. Costuma-se denotar, para cada x ∈ X,   por um subscrito. Se denotamos  , a família é denotada por (ax)xX. Quando subentendido o conjunto X de índices, podemos omití-lo na notação, escrevendo simplesmente  . Se os elementos de Y são conjuntos, temos uma família de conjuntos.

Sendo (Ax)xX uma família de conjuntos, definimos a união   como sendo o conjunto dos y tais que y ∈ Ax para algum x.

Analogamente, quando X não for o conjunto vazio, definimos a interseção   como o conjunto dos y tais que, para todo x ∈ X, y ∈ Ax.

Vale também para famílias de conjuntos as leis de DeMorgan, desde que a interseção esteja definida:
  e  .

O problema com   é que qualquer coisa seria um elemento deste conjunto, o que é incompatível com a teoria dos conjuntos, já que o conjunto de todos os conjuntos não existe. Este problema desaparece quando subentendido um conjunto universo U no qual estão contidos os Ax. Neste caso, podemos considerar a interseção como sendo o próprio U.

Ver tambémEditar


 

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