Topologia/Espaços topológicos

TopologiaEditar

Seja   um conjunto não-vazio e   um conjunto formado por partes de  . Se   possuir as seguintes propriedades:

  1.  ;
  2. Se  , então  ;
  3. Se   é uma família tal que  , então  ;

dizemos que   é uma topologia em   e que o par   é um espaço topológico. Chamamos os elementos de   de abertos. Sendo   um aberto, a   chama-se um fechado, isto é, F é fechado se   é um elemento da topologia.

Como se vê, a intersecção finita de abertos é um aberto e a união arbitrária de abertos é um aberto. Não se garante no entanto que a intersecção infinita de abertos seja um aberto. Como se verá, na maior parte dos casos não é assim.

Sendo τ1, τ2 duas topologias em X, diz-se que τ1 é menor que τ2 ou que τ2 é maior que τ1 se, e somente se, τ1τ2, isto é, um aberto segundo τ1 é também aberto segundo τ2.

ExemplosEditar

Seja X um conjunto. Então:

  1.   é uma topologia em  . Na verdade é a menor das topologias que se pode definir em  . A esta topologia chama-se a topologia indiscreta, antidiscreta ou topologia caótica em  .
  2.  , o conjunto das partes de  , é uma topologia em  . Na verdade é a maior das topologias que se pode definir em  . A esta topologia chama-se a topologia discreta em  .
  3.   é uma topologia em   que se chama topologia cofinita em  . Note-se que, se   é finito, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. A topologia cofinita é um exemplo de topologia que não possui a propriedade de Hausdorff. Note que, se   é finito, a topologia cofinita é a topologia discreta e se X é infinito não é possível construir uma topologia em que os abertos são finitos.
  4.   é uma topologia em   que se chama topologia cocontável. Note-se que, se   é contável, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. Note ainda que, se   é não-contável, não é possível construir uma topologia em que os abertos são contáveis.
  5. Seja  . O conjunto   é uma topologia sobre o conjunto  .

"Topologia" segundo os fechadosEditar

Sejam X um espaço topológico e σ o conjunto dos fechados em X. Então:

  1. X,Ø ∈ σ;
  2. Para A,Bσ, vem que  ;
  3. Para uma família (Ai)i em σ, vem que  .

Como se vê, os fechados seguem regras parecidas às que os abertos seguem, mas tendo em conta a complementação. Na verdade pode-se definir essa espécie de "topologia" começando por definir os fechados e definir mais tarde os abertos como os seus complementares.


e Editar

Sendo X espaço topológico, às uniões contáveis de fechados chama-se Fσ e às intersecções contáveis de abertos chama-se Gδ. Em geral um Fσ não é fechado e um Gδ não é aberto, no entanto um fechado é um Fσ e um aberto é um Gδ.

Note-se que a união contável de Fσ 's é um Fσ, a intersecção arbitrária de Fσ 's é um Fσ, a união arbitrária de Gδ 's é um Gδ e a intersecção contável de Gδ 's é um Gδ.

A união finita de fechados é um fechado. Mas se se passar à união numerável, pode já não ser. Aqui não se quis considerar a união arbitrária de fechados. O que sucederia em tal caso? Em Topologia, como se verá, considerar famílias contáveis ou incontáveis de objectos topológicos delineia uma raia muito importante. Quando, para descrever e trabalhar numa topologia, basta apenas considerar famílias contáveis de objectos, tem-se uma topologia na qual é muito fácil trabalhar. Quando famílias contáveis não chegam, depara-se a todo o momento com problemas intratáveis.

Para aquilo que é a maioria das aplicações da Topologia, na Análise em particular, as topologias que verificam um certo grau de contabilidade são mais do que suficientes.


 

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