Topologia/Pontos em conjuntos

Interior, exterior, fronteira e fecho

Sejam X espaço topológico, A parte de X e x ∈ X. Então:

1) Diz-se que x é interior a A sse A é vizinhança de x.

2) Diz-se que x é exterior a A sse X − A é vizinhança de x.

3) Diz-se que x é fronteiro a A sse x não é interior a A e x não é exterior a A sse qualquer vizinhança de x tem pontos de A e pontos exteriores a A.

4) Diz-se que x é aderente a A sse x é interior a A ou x é fronteiro a A sse qualquer vizinhança de x intersecta A.

5) Ao conjunto de todos os pontos interiores (resp. exteriores, fronteiros, aderentes) a A chama-se o interior (resp. exterior, fronteira, fecho) de A e denota-se int A (resp. ext A, front A, fecho A).

6) int A, ext A, front A constituem uma partição de X.

7) int A, ext A são abertos e front A, fecho A são fechados.

8) int A é o maior aberto contido em A e fecho A é o menor fechado que contém A.

9) int A = ext(X − A), ext A = int(X − A), front A = front(X − A), fecho A = X − ext A = front A ∪ int A = front A ∪ A, front A = fecho A ∩ fecho(X − A).

10) int int A = int A, ext ext A = int A, front int A = front ext A = front A, fecho int A = fecho A.

Proposição

Num espaço topológico X:

1) A é aberto sse A é vizinhança de todos os seus pontos sse A = int A.

2) A é fechado sse A = fecho A.

3) int(A ∩ B) = int A ∩ int B.

4) int ∩_i A_i ⊆ ∩_i  int A_i.

5) ext(A ∪ B) = ext A ∩ ext B.

6) ext ∪_i A_i ⊆ ∩_i ext A_i.

7) fecho(A ∪ B) = fecho A ∪ fecho B.

8) fecho(A ∩ B) ⊆ fecho A ∩ fecho B.

9) fecho ∪_i A_i ⊇ ∪_i fecho A_i.

10) Sendo A aberto, vem que A ∩ B = Ø sse A ∩ fecho B = Ø.

Ponto de acumulação, ponto isolado, conjunto perfeito e conjunto puro

Sejam X espaço topológico, A parte de X e x ∈ X. Então:

1) Diz-se que x é ponto isolado de A sse, para alguma V vizinhança pontuada de x, V não intersecta A.

2) Diz-se que x é ponto de acumulação de A sse x não é ponto isolado de A sse x ∈ fecho(A − {x}).

3) O conjunto dos pontos isolados (resp. de acumulação) de A denota-se isol A (resp. acum A).

4) Note-se que pode haver pontos isolados de A que pertençam a A, assim como pode haver pontos de acumulação de A que não pertençam a A.

5) acum A ⊆ fecho A.

6) A é fechado sse acum A ⊆ A.

7) Diz-se que A é perfeito sse A = acum A.

8) Diz-se que A é puro sse A = A ∩ isol A sse a sub-topologia em A é a topologia discreta.

9) Se A é perfeito, então A é fechado.

10) Num espaço de Hausdorff, um conjunto finito é puro.

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