Topologia/Bases

Base de uma topologia e topologia gerada

Seja X conjunto e (τ_i)_i família de topologias em X. Então ∩_i τ_i é uma topologia em X (∩_i τ_i é o conjunto de todas as partes de X que são simultaneamente abertas para todas as topologias τ_i). Sendo α conjunto de partes de X, ∩{τ topologia em X : α ⊆ τ} é a menor topologia em X para a qual os elementos de α são abertos, que se diz gerada por α e se denota top α (note-se que o conjunto ao qual se aplica a intersecção não é vazio: pelo menos a topologia discreta é elemento dele). Note-se que top α é precisamente o conjunto das uniões arbitrárias de intersecções finitas de elementos de α, ou, doutra forma, o conjunto das intersecções finitas de uniões arbitrárias de elementos de α.

Sejam τ uma topologia em X e β conjunto de partes de X. Então diz-se que β é uma base de τ sse τ for precisamente o conjunto das uniões arbitrárias de elementos de β. Diz-se que β é uma sub-base de τ sse o conjunto das intersecções finitas de elementos de β for uma base de τ. Note-se que uma base é uma sub-base.

Dado α conjunto de partes de X, α é uma sub-base de top α.

Vizinhança

Sejam X um espaço topológico, x ∈ X e V parte de X. Então:

1) Diz-se que V é vizinhança de x sse existe um aberto A com x ∈ A ⊆ V.

2) Diz-se que V é vizinhança pontuada de x sse existe W vizinhança não singular de x com V = W − {x}.

3) Note-se que, sendo Y parte de X com x ∈ Y, V é uma vizinhança de x em Y sse existe U vizinhança de x em X com V = Y ∩ U.

Bases de vizinhanças

Sejam X espaço topológico e x ∈ X. Então:

1) Uma família (V_i)_i de vizinhanças de x diz-se uma base de vizinhanças de x sse, sendo V vizinhança de x, para algum i, vem que V_i ⊆ V.

2) Uma família (V_i)_i de vizinhanças pontuadas de x diz-se uma base de vizinhanças pontuadas de x sse, sendo V vizinhança de x, para algum i, vem que V_i ⊆ V.

3) Note-se que a família de todas as vizinhanças de x é ela própria uma base de vizinhanças de x. Assim como o é a família de todos os abertos que contenham x.

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