Álgebra abstrata/Subgrupos

Submonóides e subgrupos gerados por um subconjunto

Quando dizermos monóide podemos trocar por grupo, e quando dizermos submonóide podemos trocar por subgrupo na explicação abaixo, porque é válido para os dois tipos de objetos.

Dado um subconjunto S de um monóide M, nós precisamos do menor submóide de M que contém S. O que queremos é um submóide contendo S e contido em cada submóide contendo S. Se tal objeto existir, ele é único. Vamos supor que existem dois, H(S) e H'(S), assim $H(S)\subset H'(S),H'(S)\subset H(S),\implies H(S)=H'(S)$

Seja S um subconjunto dado do monóide M e seja $M_{S}=\{P/S\subset P\subset M\}$, i é, $M_{S}\;$ é o conjunto de todos os submonóides P de M que contém S. Agora tomemos $<S>\;=\;\cap M_{S}$. $<S>\;$ é um submonóide se $\cap M_{S}$ é um submóide. Como todos os P contém S, é claro que $S\subset <S>$. Assim vemos que $S\subset <S>\subset P$. Podemos chamar $<S>\;$ de submonóide gerado por S.

Quando $<S>=M\;$, dizemos que M é gerado pelo conjunto S e S é um conjunto gerador do monóide M.

Agora vamos separar monóides de grupos, para estudar cada caso.

Submonóides gerados por um subconjunto

Seja $S=\{s_{1},s_{2},...,s_{n}\}\;$. Temos que $<S>\;$ é um submonóide que contém 1 de M e é fechado para o produto(p), de M, dos elementos de S. Assim se tomarmos S' como sendo o conjunto $\{1,s_{1},s_{2},...,s_{n}\}\;$, $<S'>=\{a\;p\;b;\;a,b\in S'\}$. Assim $S\;\subset \;<S'>\;$, temos um monóide que contém S, como consequência contém $<S>\;$. Mas a construção de ambos os geradores possui o mesmo conceito: contém uma cópia de S e contém 1 de M e é fechado para o produto p, de M, dos elementos de S. Assim só lhes restam ser iguais. $<S><S'>\;$

Grupo Cíclico (Subgrupos gerados por um subconjunto)

Quando $G=<a>\;$ é um grupo G gerado por um subgrupo $<a>\;$, chamamos de grupo cíclico com gerador a. Exemplo: Podemos ter um subgrupo gerador $<t>=\{t^{k}/k\in \mathbb {Z} \}$. Neste caso temos um grupo abeliano. Exemplo: o que um número pode gerar? Seja S = 1, e seja p = +. Assim $<1>\;=\;(G,+,1)\;$, é um subgrupo que gera os inteiros, assim $<1>\;=\;(\mathbb {Z} ,p,1)$

O tipo de gerador que vai nos interessar é o do tipo $<t>=\{t^{k}/k\in \mathbb {Z} \}$.

A aplicação $\phi :n\mapsto t^{n}$ é uma aplicação bijetora.

Pois pra todo $\phi (m+n)=t^{m+n}=t^{m}t^{n}=\phi (m)\phi (n),\;\phi (0)=1$ a aplicação é sobretiva

Dado $\phi (m)=\phi (n)\implies t^{m}=t^{n}\implies t^{n}t^{-}m=1\implies t^{n-m}=1.\;existsp=n-m\implies t^{p}=1$, logo a aplicação é injetiva e por final bijetiva. Portanto é isomorfa

Assim temos que $<t>=\{1=t^{0},t^{1},...t^{r-1}\}\;$, onde a ordem de $<t>\;$ é r.

Teorema: Qualquer dois grupos cíclicos de mesma ordem são isomorfos.

Teorema: Qualquer subgrupo de um grupo cíclico $<a>\;$ é cíclico.