Álgebra abstrata/Subgrupos


Submonóides e subgrupos gerados por um subconjunto

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Quando dizermos monóide podemos trocar por grupo, e quando dizermos submonóide podemos trocar por subgrupo na explicação abaixo, porque é válido para os dois tipos de objetos.

Dado um subconjunto S de um monóide M, nós precisamos do menor submóide de M que contém S. O que queremos é um submóide contendo S e contido em cada submóide contendo S. Se tal objeto existir, ele é único. Vamos supor que existem dois, H(S) e H'(S), assim  

Seja S um subconjunto dado do monóide M e seja  , i é,   é o conjunto de todos os submonóides P de M que contém S. Agora tomemos  .   é um submonóide se   é um submóide. Como todos os P contém S, é claro que  . Assim vemos que  . Podemos chamar   de submonóide gerado por S.

Quando  , dizemos que M é gerado pelo conjunto S e S é um conjunto gerador do monóide M.

Agora vamos separar monóides de grupos, para estudar cada caso.

Submonóides gerados por um subconjunto

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Seja  . Temos que   é um submonóide que contém 1 de M e é fechado para o produto(p), de M, dos elementos de S. Assim se tomarmos S' como sendo o conjunto  ,  . Assim  , temos um monóide que contém S, como consequência contém  . Mas a construção de ambos os geradores possui o mesmo conceito: contém uma cópia de S e contém 1 de M e é fechado para o produto p, de M, dos elementos de S. Assim só lhes restam ser iguais.  

Grupo Cíclico (Subgrupos gerados por um subconjunto)

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Quando   é um grupo G gerado por um subgrupo  , chamamos de grupo cíclico com gerador a. Exemplo: Podemos ter um subgrupo gerador  . Neste caso temos um grupo abeliano. Exemplo: o que um número pode gerar? Seja S = 1, e seja p = +. Assim  , é um subgrupo que gera os inteiros, assim  

O tipo de gerador que vai nos interessar é o do tipo  .

A aplicação   é uma aplicação bijetora.

Pois pra todo   a aplicação é sobretiva
Dado  , logo a aplicação é injetiva e por final bijetiva. Portanto é isomorfa

Assim temos que  , onde a ordem de   é r.

Teorema: Qualquer dois grupos cíclicos de mesma ordem são isomorfos.

Teorema: Qualquer subgrupo de um grupo cíclico   é cíclico.