Análise real/2Funções

Relação entre duas funçõesEditar

Igualdade de funçõesEditar

Sejam   duas funções. Dizemos que f e g são iguais se

  • são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se  .
  • "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
  • "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.
Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

Restrição de uma funçãoEditar

Sejam  . Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se  . Neste caso escrevemos  .

Função CompostaEditar

Sejam   tais que  .

Definimos a função composta   que a cada   associa  .
  • BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado   temos que   temos  . Neste caso podemos aplicar g e encontrar  .
    • Na prática é assim:  .
  •   não atrapalha a composição. Suponha   Observamos que  . Portanto a função composição é possível.
  • ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se  , então temos que  .
  • Para   definimos   por  .

Função InversaEditar

Seja  .

Definimos  .
  •  . Assim  .
    • Exemplo  .
  • Sejam   tais que  . Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos  .
  • Não devemos confundir   da definição acima com  . Sempre que aplicamos   em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica   num elemento y, pode-se entender como  , caso a inversa exista, ou  , a imagem inversa de um conjunto unitário.
  • Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se   é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa   ficando subentendido que o domínio de   é f(A) (e não B). Desta forma  .