Análise real/Funções

FunçãoEditar

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função   (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada   associa um único elemento   (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.

Note que não pode haver exceção à regra: todo   possui uma imagem  . Por outro lado, pode existir   que não seja imagem de nenhum  . Note também que, dado  , não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento   pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer   com  .

Conjuntos Básicos de uma funçãoEditar

Domínio de uma FunçãoEditar

Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam  , onde f e g tenham regras iguais.

  •   é uma função se   é uma função se  
  • Exemplo:  .
    •  . Mas certamente   não existem porque  .
    • Mas podemos definir uma função    

Imagem e Contra-domínio de uma FunçãoEditar

Seja  .

Definamos  . B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,
  •  . y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

Imagem Inversa de uma FunçãoEditar

Dado  , uma função que relaciona cada   com um  .

  • A imagem inversa de um   vai existir se existir um  
    • Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
    • Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.
Exemplo
  • Tome  . O conjunto Imagem de f é o conjunto  
    • Como  
    • Assim, o conjunto  
  • O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto    .
  • Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo  

Gráfico "Algébrico" de uma funçãoEditar

Seja  . O gráfico da função f é o conjunto  .

Exemplos Básicos de FunçãoEditar

Função IdentidadeEditar

Uma função   é chamada função identidade se   Implicações:

  •  .
  • a imagem inversa de   sempre será  .

Função ConstanteEditar

Uma função   é chamada função constante se   Implicações:

  •   é a única imagem da função, ou seja,  .

Função CaracterísticaEditar

Dado  , definimos a função característica ou indicadora de A por   (também denotada por   ) por  .

A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que  , pois I associa a cada subconjunto   a função  .