Conjuntos Básicos de uma função
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Domínio de uma Função
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Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes:
Sejam
f
:
A
1
↦
B
∧
g
:
A
2
↦
B
{\displaystyle f:A_{1}\mapsto B\land g:A_{2}\mapsto B}
f
{\displaystyle f}
f
(
A
1
)
⊂
B
e
g
{\displaystyle f(A_{1})\subset B\;e\;g}
g
(
A
2
)
⊂
B
.
{\displaystyle g(A_{2})\subset B.}
Exemplo:
f
:
2
Z
↦
Z
e
g
:
(
2
Z
−
1
)
↦
Z
,
c
o
m
f
(
x
)
=
x
+
2
e
g
(
x
)
=
x
+
2
{\displaystyle f:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} \;e\;g:(2\mathbb {Z} -1)\mapsto \mathbb {Z} ,com\;f(x)=x+2\;e\;g(x)=x+2}
f
(
2
)
=
2
+
2
=
4
e
g
(
3
)
=
3
+
2
=
5
{\displaystyle f(2)=2+2=4\;e\;g(3)=3+2=5}
f
(
3
)
e
g
(
2
)
{\displaystyle f(3)\;e\;g(2)}
2
∉
2
Z
−
1
e
3
∉
2
Z
{\displaystyle 2\not \in 2\mathbb {Z} -1\;e\;3\not \in 2\mathbb {Z} }
Mas podemos definir uma função
h
(
x
)
=
{
f
(
x
)
,
se
x
é par
g
(
x
)
,
se
x
é ímpar
=
{\displaystyle h(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\g(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.=}
{
x
+
2
,
se
x
é par
x
+
2
,
se
x
é ímpar
⇒
h
:
Z
↦
Z
,
o
n
d
e
h
(
x
)
=
x
+
2
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow h:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,onde\;h(x)=x+2}
Imagem e Contra-domínio de uma Função
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Seja
f
:
A
↦
B
,
B
′
⊂
B
{\displaystyle f:A\mapsto B,B'\subset B}
Definamos
B
′
=
{
y
∈
B
;
∃
x
∈
A
:
t
a
l
q
u
e
y
=
f
(
x
)
=
y
}
=
{
f
(
x
)
;
x
∈
A
}
{\displaystyle B'=\{y\in B;\exists \;x\in A:tal\;que\;y=f(x)=y\}=\{f(x);x\in A\}}
∀
x
∈
A
:
f
:
A
↦
B
⇒
∃
!
y
∈
B
;
t
a
l
q
u
e
;
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle \forall x\in A:f:A\mapsto B\Rightarrow \exists !y\in B;tal\;que;f(x)=y}
Imagem Inversa de uma Função
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Dado
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
f
(
x
)
∈
B
{\displaystyle f(x)\in B}
A imagem inversa de um
y
∈
B
{\displaystyle y\in B}
x
∈
A
,
t
a
l
q
u
e
f
(
x
)
=
y
,
o
u
s
e
j
a
,
x
=
f
−
1
(
y
)
.
{\displaystyle x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\;ou\;seja,x=f^{-1}(y).}
Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y. Exemplo
Tome
f
:
3
Z
↦
Z
,
s
e
n
d
o
q
u
e
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f:3\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,sendo\;que\;f(x)=2x}
I
m
f
=
{
y
∈
Z
,
t
a
l
q
u
e
y
=
f
(
x
)
,
p
a
r
a
a
l
g
u
m
x
∈
3
Z
}
=
{\displaystyle Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=f(x),para\;algum\;x\in 3\mathbb {Z} \}=}
Como
x
∈
3
Z
⇒
x
=
3
k
,
p
a
r
a
a
l
g
u
m
k
∈
Z
.
C
o
m
o
f
(
x
)
=
2
x
⇒
f
(
x
)
=
2
⋅
3
k
,
p
a
r
a
a
l
g
u
m
k
∈
Z
⇒
f
(
x
)
=
6
k
,
p
a
r
a
a
l
g
u
m
k
∈
Z
{\displaystyle x\in 3\mathbb {Z} \Rightarrow x=3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} .Como\;f(x)=2x\Rightarrow f(x)=2\cdot 3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow f(x)=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} }
Assim, o conjunto
I
m
f
=
{
y
∈
Z
,
t
a
l
q
u
e
y
=
6
k
,
p
a
r
a
a
l
g
u
m
k
∈
Z
}
=
6
Z
{\displaystyle Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \}=6\mathbb {Z} }
O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto
{
x
∈
A
,
t
a
l
q
u
e
f
(
x
)
=
y
,
∀
y
∈
I
m
f
}
=
{\displaystyle \{x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\forall \;y\in Im_{f}\}=}
=
{
x
∈
A
,
t
a
l
q
u
e
x
=
f
−
1
(
f
(
x
)
)
=
f
−
1
(
y
)
,
∀
y
∈
I
m
f
}
=
A
{\displaystyle =\{x\in A,tal\;que\;x=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y),\forall \;y\in Im_{f}\}=A}
Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo
x
=
f
−
1
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle x=f^{-1}(f(x))}
Gráfico "Algébrico" de uma função
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Seja
f
:
A
↦
B
;
f
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle f:A\mapsto B;f(A)\subset B}
G
(
f
)
=
{
(
a
,
f
(
a
)
)
;
a
∈
A
}
{\displaystyle G(f)=\{(a,f(a));a\in A\}}
Exemplos Básicos de Função
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Função Identidade
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Uma função
I
:
A
↦
B
{\displaystyle I:A\mapsto B}
∀
x
∈
A
,
I
(
x
)
=
x
.
{\displaystyle \forall x\in A,I(x)=x.}
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
a imagem inversa de
x
∈
B
,
{\displaystyle x\in B,}
x
∈
A
,
o
u
s
e
j
a
,
I
−
1
(
x
)
=
x
.
{\displaystyle x\in A,ou\;seja,I^{-1}(x)=x.}
Função Constante
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Uma função
f
:
A
↦
B
,
f
(
x
)
=
c
{\displaystyle f:A\mapsto B,f(x)=c}
∀
x
∈
A
,
f
(
x
)
=
c
.
{\displaystyle \forall x\in A,f(x)=c.}
c
∈
B
{\displaystyle c\in B}
I
m
f
=
{
c
}
{\displaystyle Im_{f}=\{c\}}
Função Característica
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Dado
A
⊂
C
{\displaystyle A\subset C}
I
A
:
C
↦
{
0
,
1
}
{\displaystyle I_{A}:C\mapsto \{0,1\}}
X
A
{\displaystyle X_{A}}
I
A
(
x
)
=
{
0
,
se
x
∉
A
1
,
se
x
∈
A
{\displaystyle I_{A}(x)={\begin{cases}0,{\mbox{ se }}x\not \in A\\1,{\mbox{ se }}x\in A\end{cases}}}
A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que
I
:
P
(
C
)
↦
F
(
C
;
{
0
,
1
}
)
ou
I
∈
F
(
P
(
C
)
;
F
(
C
;
{
0
,
1
}
)
)
{\displaystyle I:P(C)\mapsto F(C;\{0,1\}){\mbox{ ou }}I\in F(P(C);F(C;\{0,1\}))}
A
∈
P
(
C
)
{\displaystyle A\in P(C)}
I
A
{\displaystyle I_{A}}
