Uma função
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
f
(
A
)
=
B
{\displaystyle f(A)=B}
∀
y
∈
B
,
∃
x
∈
A
;
tal que
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle \forall y\in B,\exists x\in A;{\mbox{ tal que }}f(x)=y}
Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
Exemplo. Seja
A
=
{
a
,
b
}
{\displaystyle A=\{a,b\}}
f
(
x
)
=
x
,
∀
x
∈
A
{\displaystyle f(x)=x,\forall x\in A}
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja,
f
:
A
↦
f
(
A
)
{\displaystyle f:A\mapsto f(A)}
Uma função
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
para quaisquer
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
f
(
x
)
≠
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\neq f(y)}
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)=f(y)}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
∀
y
∈
f
(
A
)
,
∃
x
!
∈
A
tal que
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle \forall \;y\in f(A),\exists x!\in A{\mbox{ tal que }}f(x)=y}
Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se
f
|
A
{\displaystyle f|A}
f
|
A
{\displaystyle f|A}
Uma função
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
Exemplo: Sejam
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
4
,
6
}
e
C
=
{
1
,
4
,
9
,
16
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\}eC=\{1,4,9,16\}}
f
:
A
↦
B
,
g
:
A
↦
C
e
h
:
A
↦
A
{\displaystyle f:A\mapsto B,g:A\mapsto C{\mbox{ e }}h:A\mapsto A}
f
(
x
)
=
2
x
,
g
(
x
)
=
x
2
,
h
(
x
)
=
2
∀
x
∈
A
{\displaystyle f(x)=2x,g(x)=x^{2},h(x)=2\forall \;x\in A}
Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.
Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função
f
:
A
↦
P
(
A
)
{\displaystyle f:A\mapsto P(A)}
Prova 1 para que f não seja sobrejetiva,
P
(
A
)
∖
f
(
A
)
≠
∅
⇒
∃
y
∈
P
(
A
)
,
t
a
l
q
u
e
∀
x
∈
A
,
f
(
x
)
≠
y
{\displaystyle P(A)\setminus f(A)\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;y\in P(A),tal\;que\;\forall \;x\in A,f(x)\neq y}
Pela f ser uma função,
∀
x
∈
A
,
∃
y
∈
P
(
A
)
,
t
a
l
q
u
e
y
=
f
(
x
)
∈
P
(
A
)
{\displaystyle \forall x\in A,\exists \;y\in P(A),tal\;que\;y=f(x)\in P(A)}
Tomemos
f
:
A
↦
P
(
A
)
,
c
o
m
f
(
x
)
=
{
x
}
{\displaystyle f:A\mapsto P(A),comf(x)=\{x\}}
P
(
A
)
∖
f
(
A
)
=
P
(
A
)
∖
⋃
x
∈
A
{
x
}
{\displaystyle P(A)\setminus f(A)=P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}}
#
P
(
A
)
∖
⋃
x
∈
A
{
x
}
=
#
I
M
f
−
#
A
,
∀
f
:
A
↦
P
(
A
)
.
{\displaystyle \#P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}=\#IM_{f}-\#A,\forall \;f:A\mapsto P(A).}
Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento. Prova 2 Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos,
g
:
A
↦
U
(
A
)
{\displaystyle g:A\mapsto U(A)}
É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.
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ϕ
(
A
∪
B
)
=
ϕ
(
A
)
∪
ϕ
(
B
)
{\displaystyle \phi (A\cup B)=\phi (A)\cup \phi (B)}
ϕ
(
A
∩
B
)
⊂
ϕ
(
A
)
∪
ϕ
(
B
)
{\displaystyle \phi (A\cap B)\subset \phi (A)\cup \phi (B)}
A
⊂
B
⇒
ϕ
(
A
)
⊂
ϕ
(
B
)
{\displaystyle A\subset B\Rightarrow \phi (A)\subset \phi (B)}
ϕ
(
∅
)
=
∅
{\displaystyle \phi (\varnothing )=\varnothing }
