Análise real/Propriedades-Funções

Função SobrejetivaEditar

Uma função   é dita sobrejetiva se  , ou seja, se  .

Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
Exemplo. Seja  . A função f, definida por  , não é sobrejetiva de A em   mas é sobrejetiva de A em  .
  • Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja,   é sobrejetiva.

Função InjetivaEditar

Uma função   é dita injetiva se ocorre uma destas:

  • para quaisquer   tais que   temos  ;
  •   são tais que  , então  ;
  •  .
  • Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se   tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que   é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

Função BijetivaEditar

Uma função   é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.

Exemplo: Sejam  . Consideremos as funções   definidas por  .
Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

Teorema de CantorEditar

Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função   que seja sobrejetiva.
Prova 1
  • para que f não seja sobrejetiva,  . Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
  • Pela f ser uma função,  .
  • Tomemos  , assim  . As outras funções que existir deverá ter que  
    • Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.

2Editar

Prova 2
  • Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
  • Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos,   não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
  • É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

Propriedades interessantes sobre funçõesEditar

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