Análise real/Coleção de conjuntos

Coleção de ConjuntosEditar

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.

Ex.:  
Ex.:  . Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que  .

Coleção das partes de um conjuntoEditar

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Ex.: Seja  , logo  .

teorema de CantorEditar

Se A é um conjunto, não existe uma função   que seja sobrejetiva.

  • Prova:

União de membrosEditar

Seja C uma família cujos membros são  . Assim   onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que  .
A união dos membros da família C é escrita assim:  .
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas  .
  • Definiremos   onde x são os elementos dos membros de C.

Intersecção de membrosEditar

Seja C uma família cujos membros são  . Assim   onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que  .
A intersecção dos membros da família C é escrita assim:  .
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas  .
  • Definiremos   onde x são elementos de todos os membros de C.

Anel de ConjuntosEditar

Uma família de conjuntos  , denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:

  •  

  • Unidade de uma família de subconjuntos  :
    •   é a unidade de  

Exemplo 1Editar

Considere   a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde   é um anel de conjuntos.

  •  , onde a é um elemento qualquer.
  • Assim  
    • Mas  .
    • Também  
  • A unidade de   é   pois:
    •  

Exemplo 2Editar

Considere   a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde   é um anel de conjuntos.

  •  , onde a,b são elementos qualquer.
  • Assim  :
    •  
    •  
  • A unidade de   é   pois:
    •