Coleção de Conjuntos
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Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.
Ex.:
C
=
{
N
,
Z
,
Q
,
R
}
{\displaystyle C=\{\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \}}
Ex.:
P
=
{
A
,
B
,
C
,
D
}
,
onde
A
=
∅
,
B
=
{
1
}
,
C
=
{
2
}
,
D
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle P=\{A,B,C,D\},{\mbox{ onde }}A=\varnothing ,B=\{1\},C=\{2\},D=\{1,2\}}
P
(
D
)
=
{
X
;
X
⊂
D
}
{\displaystyle P(D)=\{X;X\subset D\}}
Coleção das partes de um conjunto
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O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
Ex.: Seja
X
=
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle X=\{a,b,c\}}
P
(
X
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
,
{
a
,
b
}
,
{
a
,
c
}
,
{
b
,
c
}
,
X
}
=
{
Y
;
Y
⊂
X
}
{\displaystyle P(X)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}=\{Y;Y\subset X\}}
teorema de Cantor
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Se A é um conjunto, não existe uma função
f
:
A
→
P
(
A
)
{\displaystyle f:A\rightarrow P(A)}
União de membros
editar
Seja C uma família cujos membros são
A
1
,
.
.
.
,
A
n
{\displaystyle A_{1},...,A_{n}}
C
=
{
A
1
,
.
.
.
,
A
n
}
,
{\displaystyle C=\{A_{1},...,A_{n}\},}
Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que
A
∈
C
{\displaystyle A\in C}
A união dos membros da família C é escrita assim:
⋃
A
∈
C
A
=
A
1
∪
A
2
∪
.
.
.
∪
A
n
{\displaystyle \bigcup _{A\in C}A=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}}
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas
⋃
A
∈
C
A
{\displaystyle \bigcup _{A\in C}A}
Definiremos
⋃
A
∈
C
A
=
{
x
;
x
∈
A
para algum
A
∈
C
}
{\displaystyle \bigcup _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para algum }}A\in C\}}
{\displaystyle }
Intersecção de membros
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Seja C uma família cujos membros são
A
1
,
.
.
.
,
A
n
{\displaystyle A_{1},...,A_{n}}
C
=
{
A
1
,
.
.
.
,
A
n
}
,
{\displaystyle C=\{A_{1},...,A_{n}\},}
Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que
A
∈
C
{\displaystyle A\in C}
A intersecção dos membros da família C é escrita assim:
⋂
A
∈
C
A
=
A
1
∩
A
2
∩
.
.
.
∩
A
n
{\displaystyle \bigcap _{A\in C}A=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}}
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas
⋂
A
∈
C
A
{\displaystyle \bigcap _{A\in C}A}
Definiremos
⋂
A
∈
C
A
=
{
x
;
x
∈
A
para todo
A
∈
C
}
{\displaystyle \bigcap _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para todo }}A\in C\}}
Anel de Conjuntos
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Uma família de conjuntos
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
S
e
A
,
B
∈
F
,
l
o
g
o
A
△
B
,
A
∩
B
∈
F
{\displaystyle Se\;A,B\in {\mathfrak {F}},logo\;A\triangle B,A\cap B\in {\mathfrak {F}}}
{\displaystyle }
Unidade de uma família de subconjuntos
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
E
∈
F
{\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}
F
,
s
e
∀
A
∈
F
,
i
m
p
l
i
c
a
r
q
u
e
A
∩
E
=
A
{\displaystyle {\mathfrak {F}},se\forall \;A\in {\mathfrak {F}},implicar\;que\;A\cap E=A}
Considere
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
S
e
j
a
F
=
{
∅
,
{
a
}
}
{\displaystyle Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\}\}}
Assim
∅
,
{
a
}
∈
F
⇒
∅
∩
∅
,
∅
∩
{
a
}
,
{
a
}
∩
{
a
}
,
∅
△
∅
,
∅
△
{
a
}
,
{
a
}
△
{
a
}
∈
F
{\displaystyle \varnothing ,\{a\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\{a\}\cap \{a\},\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\{a\}\triangle \{a\}\in {\mathfrak {F}}}
Mas
∅
∩
∅
=
∅
∩
{
a
}
=
∅
△
∅
,
{
a
}
△
{
a
}
=
∅
{\displaystyle \varnothing \cap \varnothing =\varnothing \cap \{a\}=\varnothing \triangle \varnothing ,\{a\}\triangle \{a\}=\varnothing }
Também
{
a
}
∩
{
a
}
=
∅
△
{
a
}
=
{
a
}
{\displaystyle \{a\}\cap \{a\}=\varnothing \triangle \{a\}=\{a\}}
A unidade de
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
{
a
}
,
{\displaystyle \{a\},}
{
a
}
∩
∅
=
∅
e
{
a
}
∩
{
a
}
=
{
a
}
{\displaystyle \{a\}\cap \varnothing =\varnothing \;e\;\{a\}\cap \{a\}=\{a\}}
Considere
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
S
e
j
a
F
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
a
,
b
}
}
{\displaystyle Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}
Assim
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
a
,
b
}
∈
F
⇒
{\displaystyle \varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow }
∅
∩
∅
,
∅
∩
{
a
}
,
∅
∩
{
b
}
,
∅
∩
{
a
,
b
}
,
{
a
}
∩
{
a
}
,
{
a
}
∩
{
b
}
,
{
a
}
∩
{
a
,
b
}
,
{
b
}
∩
{
b
}
,
{
b
}
∩
{
a
,
b
}
,
{
a
,
b
}
∩
{
a
,
b
}
{\displaystyle \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\varnothing \cap \{b\},\varnothing \cap \{a,b\},\{a\}\cap \{a\},\{a\}\cap \{b\},\{a\}\cap \{a,b\},\{b\}\cap \{b\},\{b\}\cap \{a,b\},\{a,b\}\cap \{a,b\}}
∅
△
∅
,
∅
△
{
a
}
,
∅
△
{
b
}
,
∅
△
{
a
,
b
}
,
{
a
}
△
{
a
}
,
{
a
}
△
{
b
}
,
{
a
}
△
{
a
,
b
}
,
{
b
}
△
{
b
}
,
{
b
}
△
{
a
,
b
}
,
{
a
,
b
}
△
{
a
,
b
}
{\displaystyle \varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\varnothing \triangle \{b\},\varnothing \triangle \{a,b\},\{a\}\triangle \{a\},\{a\}\triangle \{b\},\{a\}\triangle \{a,b\},\{b\}\triangle \{b\},\{b\}\triangle \{a,b\},\{a,b\}\triangle \{a,b\}}
A unidade de
F
{\displaystyle {\mathfrak {F}}}
{
a
,
b
}
,
{\displaystyle \{a,b\},}
{
a
,
b
}
∩
∅
=
∅
,
{
a
,
b
}
∩
{
a
}
=
{
a
}
,
{
a
,
b
}
∩
{
b
}
=
{
b
}
e
{
a
,
b
}
∩
{
a
,
b
}
=
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}\cap \varnothing =\varnothing ,\{a,b\}\cap \{a\}=\{a\},\{a,b\}\cap \{b\}=\{b\}\;e\;\{a,b\}\cap \{a,b\}=\{a,b\}}
