Conjunto de Pares ordenados
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Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e.,
(
a
,
b
)
=
(
c
,
d
)
⇔
a
=
c
e
b
=
d
{\displaystyle (a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\mbox{ e }}b=d}
.
Repare que
(
a
,
b
)
≠
(
b
,
a
)
{\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}
salvo se a = b e que
(
a
,
a
)
≠
a
{\displaystyle (a,a)\neq a}
. De maneira análoga definimos triplas ordenadas
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
ou n-uplas ordenadas
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},...,a_{n})}
.
Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que
a
∈
A
e
b
∈
B
{\displaystyle a\in A\;e\;b\in B}
. Em símbolos:
A
×
B
=
{
(
a
,
b
)
;
a
∈
A
e
b
∈
B
}
{\displaystyle A\times B=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in B\}}
.
Ex.:
A
×
A
=
{
(
a
,
b
)
;
a
∈
A
e
b
∈
A
}
{\displaystyle A\times A=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in A\}}
e, por simplicidade, o denotamos
A
2
{\displaystyle A^{2}}
.
Ex.: De maneira análoga definimos
A
×
B
×
C
=
{
(
a
,
b
,
c
)
;
a
∈
A
,
b
∈
B
e
c
∈
C
}
,
{\displaystyle A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B\;e\;c\in C\},}
Ex.:
A
3
=
A
×
A
×
A
,
A
n
=
A
×
.
.
.
×
A
⏟
n
v
e
z
e
s
{\displaystyle A^{3}=A\times A\times A,A^{n}={\begin{matrix}\underbrace {A\times ...\times A} \\nvezes\end{matrix}}}
Ex: Sejam
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
e
B
=
{
a
,
b
,
c
}
⇒
A
×
B
=
{
(
1
,
a
)
,
(
1
,
b
)
,
(
1
,
c
)
,
(
2
,
a
)
,
(
2
,
b
)
,
(
2
,
c
)
,
(
3
,
a
)
,
(
3
,
b
)
,
(
3
,
c
)
,
(
4
,
a
)
,
(
4
,
b
)
,
(
4
,
c
)
}
{\displaystyle A=\{1,2,3,4\}{\mbox{ e }}B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}}
Exemplos importantes de Planos Cartesianos:
N
2
=
N
×
N
;
Z
2
=
Z
×
Z
;
Q
2
=
Q
×
Q
;
R
2
=
R
×
R
{\displaystyle \mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} ;\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ;\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ;\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }
.
Diagonal de um Plano Cartesiano
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A diagonal mais simples é do quadrado
A
2
:
Δ
(
A
2
)
=
{
(
a
,
a
)
;
a
∈
A
}
{\displaystyle A^{2}:\Delta (A^{2})=\{(a,a);a\in A\}}
. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado
A
n
:
Δ
(
A
n
)
=
{
(
a
,
a
,
.
.
.
,
a
)
⏟
n
v
e
z
e
s
;
a
∈
A
}
{\displaystyle A^{n}:\Delta (A^{n})=\{{\begin{matrix}\underbrace {(a,a,...,a)} \\nvezes\end{matrix}};a\in A\}}
Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
. Supondo que o
min
(
A
)
,
min
(
B
)
,
max
(
A
)
,
max
(
B
)
<
∞
:
{\displaystyle \min(A),\min(B),\max(A),\max(B)<\infty :}
Δ
(
A
×
B
)
=
{
(
min
(
A
)
,
min
(
B
)
)
+
c
(
max
(
A
)
−
min
(
A
)
,
max
(
B
)
−
min
(
B
)
)
;
c
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \Delta (A\times B)=\{(\min(A),\min(B))+c(\max(A)-\min(A),\max(B)-\min(B));c\in [0,1]\}}
Ex.:
A
=
[
2
,
12
]
,
B
=
[
1
,
15
]
:
Δ
(
A
×
B
)
=
{
(
2
,
1
)
+
c
(
10
,
14
)
;
c
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle A=[2,12],B=[1,15]:\Delta (A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}}
Propriedades de Plano Cartesiano
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Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
(
a
,
b
)
=
(
c
,
d
)
⇔
a
=
c
e
b
=
d
{\displaystyle (a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c\;e\;b=d}