Propriedades de conjuntos
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Sejam A , B ⊂ K {\displaystyle A,B\subset K} .
A ∪ B = K , A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A − B = ∁ A B = K − B = ∁ K B {\displaystyle A\cup B=K,A\cap B\neq \varnothing \Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B} .
D a d o x ∈ K = A ∪ B ⇒ x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ A ∩ B {\displaystyle Dado\;x\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B{\mbox{ ou }}x\in A\cap B}
A ∪ B = K , A ∩ B = ∅ ⇒ dado x ∈ K ⇒ x ∈ A ou x ∈ B {\displaystyle A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow {\mbox{ dado }}x\in K\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B} .
A ⊂ B ⇒ B C ⊂ A C {\displaystyle A\subset B\Rightarrow B^{C}\subset A^{C}} .
Dado x ∈ B C ⇒ x ∉ B ⇒ 1 x ∉ A ⇒ x ∈ A C {\displaystyle x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in B\Rightarrow ^{1}x\not \in A\Rightarrow x\in A^{C}} . 1 Suponha que A − B ≠ ∅ ⇒ ∃ x ∈ K ; x ∈ A , x ∉ B ⇒ A ⊄ B {\displaystyle A-B\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in K;x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\not \subset B} que opõe-se da nossa hipótese.
A ∪ B = B ⇔ 1 A ⊂ B ⇔ 2 A ∩ B = A {\displaystyle A\cup B=B\Leftrightarrow _{1}A\subset B\Leftrightarrow _{2}A\cap B=A}
⇒ 1 : D e f a t o A ⊂ A ∪ B . C o m o A ∪ B = B ⇒ A ∪ B ⊂ B . L o g o A ⊂ A ∪ B ⊂ B ⇒ A ⊂ B . {\displaystyle \Rightarrow _{1}:De\;fato\;A\subset A\cup B.\;Como\;A\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.\;Logo\;A\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.}
⇐ 1 : D e f a t o A , B ⊂ A ∪ B . C o m o A ⊂ B , l o g o A ∪ B ⊂ B . P o r t a n t o A ∪ B = B . {\displaystyle \Leftarrow _{1}:De\;fato\;A,B\subset A\cup B.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\cup B\subset B.\;Portanto\;A\cup B=B.}
⇒ 2 : D e f a t o A ∩ B ⊂ A . C o m o A ⊂ B , l o g o A ⊂ A ∩ B . {\displaystyle \Rightarrow _{2}:De\;fato\;A\cap B\subset A.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\subset A\cap B.}
⇐ 2 : C o m o A ∩ B = A ⇒ A ⊂ A ∩ B . D e f a t o A ∩ B ⊂ B ⇒ A ⊂ B . {\displaystyle \Leftarrow _{2}:Como\;A\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.\;De\;fato\;A\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.} Relações de Morgan
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( A ∪ B ) C = A C ∩ B C {\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}
∀ x ∈ ( A ∪ B ) C ⇒ x ∉ A ∪ B . C o m o A ∪ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) ∪ ( A ∩ B ) , d i s j u n t o s ⇒ x ∉ A − B , x ∉ B − A e x ∉ A ∩ B ⇒ {\displaystyle \forall x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cup B.\;Como\;A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),\;disjuntos\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow }
⇒ x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∈ A C e x ∈ B C ⇒ x ∈ A C ∩ B C ⇒ ( A ∪ B ) C ⊂ A C ∩ B C {\displaystyle \Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}} (1)
∀ x ∈ A C ∩ B C ⇒ x ∈ A C e x ∈ B C ⇒ x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∉ A − B , x ∉ B − A e x ∉ A ∩ B ⇒ x ∉ A ∪ B ⇒ x ∈ ( A ∪ B ) C ⇒ A C ∩ B C ⊂ ( A ∪ B ) C {\displaystyle \forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}} (2)
Por (1) e (2), temos que ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C {\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}
( A ∩ B ) C = A C ∪ B C {\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}}
∀ x ∈ ( A ∩ B ) C ⇒ x ∉ A ∩ B ⇒ x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∈ A C e x ∈ B C ⇒ x ∈ A C ∪ B C {\displaystyle \forall x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}}
∀ x ∈ A C ∩ B C ⇒ x ∈ A C e x ∈ B C ⇒ x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∉ A ∩ B ⇒ x ∈ ( A ∩ B ) C {\displaystyle \forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}}
∅ ∈ ∅ {\displaystyle \varnothing \in \varnothing }
Considere K, um conjunto qualquer e A = K ∩ K C {\displaystyle A=K\cap K^{C}} . Suponha que ∅ ∈ A {\displaystyle \varnothing \in A} . Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo ∅ ∈ K e ∅ ∈ K C {\displaystyle \varnothing \in K\;e\;\varnothing \in K^{C}} . Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto ∅ ∉ ∅ {\displaystyle \varnothing \not \in \varnothing }
∅ ⊂ ∅ {\displaystyle \varnothing \subset \varnothing }
Por contradição ∅ A ⊄ ∅ B ⇒ ∃ x ∈ ∅ A ; x ∉ ∅ B ⇒ ∅ A − ∅ B ≠ ∅ {\displaystyle \varnothing _{A}\not \subset \varnothing _{B}\Rightarrow \exists x\in \varnothing _{A};x\not \in \varnothing _{B}\Rightarrow \varnothing _{A}-\varnothing _{B}\neq \varnothing } . O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
Suponha um conjunto A qualquer e que ∅ ⊄ A {\displaystyle \varnothing \not \subset A} , isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
∅ ∈ { ∅ } {\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}}
O conjunto das partes do conjunto { } {\displaystyle \{\}} , é { ∅ } {\displaystyle \{\varnothing \}} . Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
∅ ⊂ { ∅ } {\displaystyle \varnothing \subset \{\varnothing \}}
Tomemos as parte do conjunto { } {\displaystyle \{\}} , que é { ∅ } {\displaystyle \{\varnothing \}} . Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim: { ∅ } ⊂ { ∅ } {\displaystyle \{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}} condições entre conjuntos
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Considere A = { x ∈ U ; P o c o r r e } , B = { x ∈ U ; Q o c o r r e } e C = { x ∈ U ; R o c o r r e } {\displaystyle A=\{x\in U;P\;ocorre\},B=\{x\in U;Q\;ocorre\}\;e\;C=\{x\in U;R\;ocorre\}} .
Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde
A ∩ B C ⊂ C {\displaystyle A\cap B^{C}\subset C}
∀ x ∈ A ∩ B C ⇒ x ∈ A e x ∈ U − B ⇒ x ∈ C . {\displaystyle \forall x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\;e\;x\in U-B\Rightarrow x\in C.}
∴ P ∧ ¬ Q ⇒ R {\displaystyle \therefore P\land \lnot Q\Rightarrow R} . Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
Devemos aqui ter bem claro que x ∈ U − A {\displaystyle x\in U-A} significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
A C ∪ B C ⊂ C {\displaystyle A^{C}\cup B^{C}\subset C}
∀ x ∈ A C ∪ B C ⇒ x ∈ U − A o u x ∈ U − B ⇒ x ∈ C {\displaystyle \forall x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in U-B\Rightarrow x\in C}
∴ ¬ P ∨ ¬ Q ⇒ R {\displaystyle \therefore \lnot P\lor \lnot Q\Rightarrow R} . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.A C ∪ B ⊂ C C {\displaystyle A^{C}\cup B\subset C^{C}}
∀ x ∈ A C ∪ B ⇒ x ∈ U − A o u x ∈ B ⇒ x ∈ U − C {\displaystyle \forall x\in A^{C}\cup B\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in U-C}
∴ ¬ P ∨ Q ⇒ ¬ R {\displaystyle \therefore \lnot P\lor Q\Rightarrow \lnot R} . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.A C ⊂ B C ∪ C {\displaystyle A^{C}\subset B^{C}\cup C}
∀ x ∈ A C ⇒ x ∈ U − A ⇒ x ∈ U − B o u x ∈ C {\displaystyle \forall x\in A^{C}\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in C}
∴ ¬ P ⇒ ¬ Q ∨ R {\displaystyle \therefore \lnot P\Rightarrow \lnot Q\lor R} . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.A ⊂ B C ∪ C C {\displaystyle A\subset B^{C}\cup C^{C}}
∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B C ∪ C C ⇒ x ∈ U − B o u x ∈ U − C {\displaystyle \forall x\in A\Rightarrow x\in B^{C}\cup C^{C}\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in U-C}
∴ P ⇒ ¬ Q ∨ ¬ R {\displaystyle \therefore P\Rightarrow \lnot Q\lor \lnot R} . Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.