Análise real/Propriedades

Propriedades de conjuntosEditar

Sejam  .

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    • Dado  . 1 Suponha que   que opõe-se da nossa hipótese.

teoremaEditar

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Relações de MorganEditar

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      •   (1)
    •   (2)
    • Por (1) e (2), temos que  
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exemplosEditar

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    • Considere K, um conjunto qualquer e  . Suponha que  . Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo  . Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto  
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    • Por contradição  . O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
    • Suponha um conjunto A qualquer e que  , isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
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    • O conjunto das partes do conjunto  , é  . Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
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    • Tomemos as parte do conjunto  , que é  . Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim:  

condições entre conjuntosEditar

Considere  . Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde

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      •  . Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
      • Devemos aqui ter bem claro que   significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
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      •  . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
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      •  . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.
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      •  . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.
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      •  . Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.