Propriedades de conjuntos
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Sejam
A
,
B
⊂
K
{\displaystyle A,B\subset K}
A
∪
B
=
K
,
A
∩
B
≠
∅
⇒
A
−
B
=
∁
A
B
=
K
−
B
=
∁
K
B
{\displaystyle A\cup B=K,A\cap B\neq \varnothing \Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B}
D
a
d
o
x
∈
K
=
A
∪
B
⇒
x
∈
A
ou
x
∈
B
ou
x
∈
A
∩
B
{\displaystyle Dado\;x\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B{\mbox{ ou }}x\in A\cap B}
A
∪
B
=
K
,
A
∩
B
=
∅
⇒
dado
x
∈
K
⇒
x
∈
A
ou
x
∈
B
{\displaystyle A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow {\mbox{ dado }}x\in K\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B}
A
⊂
B
⇒
B
C
⊂
A
C
{\displaystyle A\subset B\Rightarrow B^{C}\subset A^{C}}
Dado
x
∈
B
C
⇒
x
∉
B
⇒
1
x
∉
A
⇒
x
∈
A
C
{\displaystyle x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in B\Rightarrow ^{1}x\not \in A\Rightarrow x\in A^{C}}
A
−
B
≠
∅
⇒
∃
x
∈
K
;
x
∈
A
,
x
∉
B
⇒
A
⊄
B
{\displaystyle A-B\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in K;x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\not \subset B}
A
∪
B
=
B
⇔
1
A
⊂
B
⇔
2
A
∩
B
=
A
{\displaystyle A\cup B=B\Leftrightarrow _{1}A\subset B\Leftrightarrow _{2}A\cap B=A}
⇒
1
:
D
e
f
a
t
o
A
⊂
A
∪
B
.
C
o
m
o
A
∪
B
=
B
⇒
A
∪
B
⊂
B
.
L
o
g
o
A
⊂
A
∪
B
⊂
B
⇒
A
⊂
B
.
{\displaystyle \Rightarrow _{1}:De\;fato\;A\subset A\cup B.\;Como\;A\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.\;Logo\;A\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.}
⇐
1
:
D
e
f
a
t
o
A
,
B
⊂
A
∪
B
.
C
o
m
o
A
⊂
B
,
l
o
g
o
A
∪
B
⊂
B
.
P
o
r
t
a
n
t
o
A
∪
B
=
B
.
{\displaystyle \Leftarrow _{1}:De\;fato\;A,B\subset A\cup B.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\cup B\subset B.\;Portanto\;A\cup B=B.}
⇒
2
:
D
e
f
a
t
o
A
∩
B
⊂
A
.
C
o
m
o
A
⊂
B
,
l
o
g
o
A
⊂
A
∩
B
.
{\displaystyle \Rightarrow _{2}:De\;fato\;A\cap B\subset A.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\subset A\cap B.}
⇐
2
:
C
o
m
o
A
∩
B
=
A
⇒
A
⊂
A
∩
B
.
D
e
f
a
t
o
A
∩
B
⊂
B
⇒
A
⊂
B
.
{\displaystyle \Leftarrow _{2}:Como\;A\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.\;De\;fato\;A\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.}
(
A
∪
B
)
C
=
A
C
∩
B
C
{\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}
∀
x
∈
(
A
∪
B
)
C
⇒
x
∉
A
∪
B
.
C
o
m
o
A
∪
B
=
(
A
−
B
)
∪
(
B
−
A
)
∪
(
A
∩
B
)
,
d
i
s
j
u
n
t
o
s
⇒
x
∉
A
−
B
,
x
∉
B
−
A
e
x
∉
A
∩
B
⇒
{\displaystyle \forall x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cup B.\;Como\;A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),\;disjuntos\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow }
⇒
x
∉
A
e
x
∉
B
⇒
x
∈
A
C
e
x
∈
B
C
⇒
x
∈
A
C
∩
B
C
⇒
(
A
∪
B
)
C
⊂
A
C
∩
B
C
{\displaystyle \Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}}
∀
x
∈
A
C
∩
B
C
⇒
x
∈
A
C
e
x
∈
B
C
⇒
x
∉
A
e
x
∉
B
⇒
x
∉
A
−
B
,
x
∉
B
−
A
e
x
∉
A
∩
B
⇒
x
∉
A
∪
B
⇒
x
∈
(
A
∪
B
)
C
⇒
A
C
∩
B
C
⊂
(
A
∪
B
)
C
{\displaystyle \forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}}
Por (1) e (2), temos que
(
A
∪
B
)
C
=
A
C
∩
B
C
{\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}
(
A
∩
B
)
C
=
A
C
∪
B
C
{\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}}
∀
x
∈
(
A
∩
B
)
C
⇒
x
∉
A
∩
B
⇒
x
∉
A
e
x
∉
B
⇒
x
∈
A
C
e
x
∈
B
C
⇒
x
∈
A
C
∪
B
C
{\displaystyle \forall x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}}
∀
x
∈
A
C
∩
B
C
⇒
x
∈
A
C
e
x
∈
B
C
⇒
x
∉
A
e
x
∉
B
⇒
x
∉
A
∩
B
⇒
x
∈
(
A
∩
B
)
C
{\displaystyle \forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}}
∅
∈
∅
{\displaystyle \varnothing \in \varnothing }
Considere K, um conjunto qualquer e
A
=
K
∩
K
C
{\displaystyle A=K\cap K^{C}}
∅
∈
A
{\displaystyle \varnothing \in A}
∅
∈
K
e
∅
∈
K
C
{\displaystyle \varnothing \in K\;e\;\varnothing \in K^{C}}
∅
∉
∅
{\displaystyle \varnothing \not \in \varnothing }
∅
⊂
∅
{\displaystyle \varnothing \subset \varnothing }
Por contradição
∅
A
⊄
∅
B
⇒
∃
x
∈
∅
A
;
x
∉
∅
B
⇒
∅
A
−
∅
B
≠
∅
{\displaystyle \varnothing _{A}\not \subset \varnothing _{B}\Rightarrow \exists x\in \varnothing _{A};x\not \in \varnothing _{B}\Rightarrow \varnothing _{A}-\varnothing _{B}\neq \varnothing }
Suponha um conjunto A qualquer e que
∅
⊄
A
{\displaystyle \varnothing \not \subset A}
∅
∈
{
∅
}
{\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}}
O conjunto das partes do conjunto
{
}
{\displaystyle \{\}}
{
∅
}
{\displaystyle \{\varnothing \}}
∅
⊂
{
∅
}
{\displaystyle \varnothing \subset \{\varnothing \}}
Tomemos as parte do conjunto
{
}
{\displaystyle \{\}}
{
∅
}
{\displaystyle \{\varnothing \}}
{
∅
}
⊂
{
∅
}
{\displaystyle \{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}}
editar
Considere
A
=
{
x
∈
U
;
P
o
c
o
r
r
e
}
,
B
=
{
x
∈
U
;
Q
o
c
o
r
r
e
}
e
C
=
{
x
∈
U
;
R
o
c
o
r
r
e
}
{\displaystyle A=\{x\in U;P\;ocorre\},B=\{x\in U;Q\;ocorre\}\;e\;C=\{x\in U;R\;ocorre\}}
A
∩
B
C
⊂
C
{\displaystyle A\cap B^{C}\subset C}
∀
x
∈
A
∩
B
C
⇒
x
∈
A
e
x
∈
U
−
B
⇒
x
∈
C
.
{\displaystyle \forall x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\;e\;x\in U-B\Rightarrow x\in C.}
∴
P
∧
¬
Q
⇒
R
{\displaystyle \therefore P\land \lnot Q\Rightarrow R}
Devemos aqui ter bem claro que
x
∈
U
−
A
{\displaystyle x\in U-A}
A
C
∪
B
C
⊂
C
{\displaystyle A^{C}\cup B^{C}\subset C}
∀
x
∈
A
C
∪
B
C
⇒
x
∈
U
−
A
o
u
x
∈
U
−
B
⇒
x
∈
C
{\displaystyle \forall x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in U-B\Rightarrow x\in C}
∴
¬
P
∨
¬
Q
⇒
R
{\displaystyle \therefore \lnot P\lor \lnot Q\Rightarrow R}
A
C
∪
B
⊂
C
C
{\displaystyle A^{C}\cup B\subset C^{C}}
∀
x
∈
A
C
∪
B
⇒
x
∈
U
−
A
o
u
x
∈
B
⇒
x
∈
U
−
C
{\displaystyle \forall x\in A^{C}\cup B\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in U-C}
∴
¬
P
∨
Q
⇒
¬
R
{\displaystyle \therefore \lnot P\lor Q\Rightarrow \lnot R}
A
C
⊂
B
C
∪
C
{\displaystyle A^{C}\subset B^{C}\cup C}
∀
x
∈
A
C
⇒
x
∈
U
−
A
⇒
x
∈
U
−
B
o
u
x
∈
C
{\displaystyle \forall x\in A^{C}\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in C}
∴
¬
P
⇒
¬
Q
∨
R
{\displaystyle \therefore \lnot P\Rightarrow \lnot Q\lor R}
A
⊂
B
C
∪
C
C
{\displaystyle A\subset B^{C}\cup C^{C}}
∀
x
∈
A
⇒
x
∈
B
C
∪
C
C
⇒
x
∈
U
−
B
o
u
x
∈
U
−
C
{\displaystyle \forall x\in A\Rightarrow x\in B^{C}\cup C^{C}\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in U-C}
∴
P
⇒
¬
Q
∨
¬
R
{\displaystyle \therefore P\Rightarrow \lnot Q\lor \lnot R}
