Análise real/Equações

Equação

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui uma igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras.

• a idéia de uma equação é determinar o valor de cada incógnita.

Teo

• $a=b,c=d\Leftrightarrow a+c=b+d\;e\;a-c=b-d$
• $a=b,c=d\Leftrightarrow a\cdot c=b\cdot d\;e\;a/c=b/d$
• $a=b\Leftrightarrow a\cdot a=b\cdot b\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}$

exemplo

• ${\sqrt {x}}=4\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=4\cdot 4\Leftrightarrow x=16$
• ${\sqrt {x}}+x=2\Leftrightarrow {\sqrt {x}}+x-x=2-x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}=2-x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=(2-x)\cdot (2-x)\Leftrightarrow x=4-4x+x^{2}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x^{2}-4x-x+4-4=x-x-4\Leftrightarrow x^{2}-5x=-4\Leftrightarrow x^{2}-5x+{25 \over 4}=-4+{25 \over 4}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow (x-{5 \over 2})^{2}={-16+25 \over 4}\Leftrightarrow (x-{5 \over 2})^{2}={9 \over 4}\Leftrightarrow x-{5 \over 2}={3 \over 2}\;ou\;x-{5 \over 2}=-{3 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x-{5 \over 2}+{5 \over 2}={3 \over 2}+{5 \over 2}\;ou\;x-{5 \over 2}+{5 \over 2}=-{3 \over 2}+{5 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $x={8 \over 2}\;ou\;x={2 \over 2}\Leftrightarrow x=4\;ou\;x=1$
• ${\sqrt {x}}+3=x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}+3-3=x-3\Leftrightarrow {\sqrt {x}}=x-3\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=(x-3)\cdot (x-3)\Leftrightarrow x=x^{2}-6x+9\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x^{2}-6x-x+9-9=x-x-9\Leftrightarrow x^{2}-7x=-9\Leftrightarrow x^{2}-7x+{49 \over 4}=-9+{49 \over 4}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow (x-{7 \over 2})^{2}={-36+49 \over 4}\Leftrightarrow (x-{7 \over 2})^{2}={13 \over 4}\Leftrightarrow x-{7 \over 2}={{\sqrt {1}}3 \over 2}\;ou\;x-{7 \over 2}=-{{\sqrt {1}}3 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x-{7 \over 2}+{7 \over 2}={{\sqrt {1}}3 \over 2}+{7 \over 2}\;ou\;x-{7 \over 2}+{7 \over 2}=-{{\sqrt {1}}3 \over 2}+{7 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $x={7+{\sqrt {1}}3 \over 2}\;ou\;x={7-{\sqrt {1}}3 \over 2}$