Análise real/Inclusão

Propriedades da relação de inclusão

reflexidade

$X\subset X$

• Ao tomarmos um elemento do primeiro conjunto, este elemento também pertence ao segundo conjunto. Assim todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

antisimetria

$X\subset Y,Y\subset X\Rightarrow X=Y$

• prova: tome $x\in X,{\mbox{ como }}\;X\subset Y\Rightarrow x\in Y,{\mbox{ ou tome }}y\in Y,{\mbox{ como }}Y\subset X\Rightarrow y\in X\Rightarrow X=Y$

transitividade

$X\subset Y,Y\subset Z\Rightarrow X\subset Z$

• prova: dado $x\in X,como\;X\subset Y\Rightarrow x\in Y,mas\;Y\subset Z\Rightarrow x\in Z\Rightarrow X\subset Z$

Relação de dois conjuntos

Igualdade

Um conjunto é igual ao outro se um conjunto é subconjunto do outro. Não podendo ser subconjunto próprio. $Y=X\Leftrightarrow Y\subset X\;e\;X\subset Y$.

Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

• $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B$ são disjuntos.

Exemplos:

• $A\cap A=A$. Logo A não é disjunto dele próprio.
• $A\cap B=B$. Logo A,B não são disjuntos.
• $Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};A\cap B=\varnothing$. Logo A,B são disjuntos.