Análise real/Operação

Operações entre conjuntosEditar

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

  •  
  • Ex:  
    • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

UniãoEditar

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

  •  
    • Veremos mais para frente que   ao qual são três conjuntos disjuntos
  • Temos que  .

Propriedades Básicas:

  • NULO:  
    • Basta verificarmos que   e depois que  . Assim  
  • IDENTIDADE:  
    •  
  • COMUTATIVIDADE:  
    •  
  • SUBCONJUNTO:  
    •  
    •    .
    •  
  • ASSOCIATIVA:  
    •  
  •  
    •  

IntersecçãoEditar

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

  •  

Exemplos:

  • NULO:  
    •  
  • IDENTIDADE:  
    •  
  • COMUTATIVIDADE:  
    •  
  • SUBCONJUNTO:  
    •  
    •    .
    •  
  • ASSOCIATIVA:  
    •  
 
  •  
    •  

DiferençaEditar

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

  •  .
  •   significam a mesma coisa.

Exemplo 1Editar

  •  
    •  .
    •  .

Exemplo 2Editar

  •  
    •  .
      •  . Logo  .
      •  .
    •  .
      •  
      •  
      •  .

Exemplo 3Editar

  •  .

Exemplo 4Editar

  •  .
    • Suponha que  . Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

teoremaEditar

  •  .
    •  .
    •  .
  •  .
    •  .
    •  .
      •  .
      •  .
  •  .
    •  .
    •  . Analogamente  .

teoremaEditar

  •  
    •    . Como  
    •  
    •  

Diferença SimétricaEditar

  • Definição 1:  
  • Definição 2:  

teoremaEditar

Teorema: Mostrar que  

Prova:

  •  
    •  
    •  
    •  
    •  
  •  

Distributividade do conjuntosEditar

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

  •  
    •    
  •  
    •    
  •  
    •  . Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que  .
    •  , que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese,  , é suficiente para dizermos que