Análise real/Operação

Operações entre conjuntos

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

• $Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}$
• Ex: $K=\{...,-3,-2,-1,0,1,...\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,...\}$
  • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

• $Seja\;A,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in A\;ou\;x\in B\}$
  • Veremos mais para frente que $A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)$ ao qual são três conjuntos disjuntos
• Temos que $A,B\subset A\cup B$.

Propriedades Básicas:

• NULO: $A\cup \varnothing =A$
  • Basta verificarmos que $A\cup \varnothing \subset A$ e depois que $A\subset A\cup \varnothing$. Assim $\forall \;x\in A\cup \varnothing \Leftrightarrow x\in A$
• IDENTIDADE: $A\cup A=A$
  • $\forall \;x\in A\cup A\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in A$
• COMUTATIVIDADE: $A\cup B=B\cup A$
  • $\forall \;x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A$
• SUBCONJUNTO: $A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A$
  • $\Rightarrow :A\cup B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B,\;teremos\;x\in A\Rightarrow B\subset A.$
  • $\Leftarrow :\forall \;x\in A\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\cup B,\;logo\;$ $A\subset A\cup B$.
  • $\forall \;x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B,\;como\;B\subset A\Rightarrow x\in A\Rightarrow A\cup B\subset A.\;Portanto\;A\cup B=A$
• ASSOCIATIVA: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).$
  • $\forall \;x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).$
• $A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cup C\subset B\cup D$
  • $\forall \;x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;ou\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cup D.$

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

• $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\},\;ou\;seja\;,x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B$

Exemplos:

• NULO: $A\cap \varnothing =\varnothing .$
  • $\forall x\in A\cap \varnothing \Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in \varnothing \Leftrightarrow x\in \varnothing .$
• IDENTIDADE: $A\cap A=A.$
  • $\forall x\in A\cap A\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in A.$
• COMUTATIVIDADE: $A\cap B=B\cap A.$
  • $\forall x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.$
• SUBCONJUNTO: $A\cap B=B\Leftrightarrow B\subset A.$
  • $\Rightarrow :\forall x\in B,\;como\;B\subset A\cap B\Rightarrow x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\Rightarrow B\subset A.$
  • $\Leftarrow :\;Como\;B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B\Rightarrow x\in A\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in A\cap B,\;logo\;$ $B\subset A\cap B$.
  • $\forall x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\cap B\subset B.\;Portanto\;A\cap B=B\;.$
• ASSOCIATIVA: $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C).$
  • $\forall \;x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\;e\;x\in C\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;e\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\;e\;x\in C\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).$

• $A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cap C\subset B\cap D$
  • $\forall x\in A\cap C\Rightarrow x\in A\;e\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;e\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cap D.$

Diferença

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

• $Seja\;A,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\not \in B\}$.
• $A\setminus B\;e\;A-B$ significam a mesma coisa.

Exemplo 1

• $A\setminus B=A\cap B^{C}$
  • $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\cap B^{C}\Rightarrow A\setminus B\subset A\cap B^{C}$.
  • $Tome\;x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\setminus B\Rightarrow A\cap B^{C}\subset A\setminus B$.

Exemplo 2

• $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$
  • $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}$.
    • $Como\;A\cap B\subset B\Rightarrow B^{C}\subset (A\cap B)^{C}$. Logo $x\in B^{C}\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$.
    • $Portanto\;x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\cap (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow A\setminus B\subset A\setminus (A\cap B)$.
  • $Tome\;x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\not \in (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}$.
    • $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}.Logo\;x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\not \in A\lor x\not \in B$
    • $Assim\;x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\land (x\not \in A\lor x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in A)\lor (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow$
    • $\Rightarrow A\setminus (A\cap B)\subset A\setminus B$.

Exemplo 3

• $A,B\subset K;tal\;que\;A\cap B=\varnothing ,A\cup B=K\Rightarrow K-A=B\land K-B=A$.

Exemplo 4

• $A-A=\varnothing$.
  • Suponha que $A-A\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A-A\Rightarrow \exists \;x\in A\;e\;x\not \in A$. Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

teorema

• $A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B$.
  • $\Rightarrow :A\setminus B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A\subset B$.
  • $\Leftarrow :Suponha\;que\;A-B\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A\setminus B\Rightarrow \exists \;x\in A,x\not \in B.\;Absurdo,\;pois\;A\subset B,\Rightarrow \forall x\in A,x\in B$.
• $A-B=A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing$.
  • $\Rightarrow :A=A-B\Rightarrow A\subset A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\cap B=\varnothing$.
  • $\Leftarrow :A\cap B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow A\subset A-B$.
    • $\forall x\in A-B\Rightarrow x\in A,x\not \in B\Rightarrow A-B\subset A$.
    • $\therefore A=A-B$.
• $A-B=\varnothing =B-A\Leftrightarrow A=B$.
  • $\Rightarrow :A-B\subset B-A\Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A=B$.
  • $\Leftarrow :A=B\Rightarrow \;dado\;x\in A-B,x\in A,x\not \in B\Rightarrow x\in B\;e\;x\not \in B\Rightarrow A-B=\varnothing$. Analogamente $B-A=\varnothing$.

teorema

• $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\Leftrightarrow A\cap C=\varnothing$
  • $A\setminus (B\setminus C)=A\setminus (B\setminus (B\cap C))=A\setminus (B\setminus ((B\cap C)\cap A)\cup ((B\cap C)\setminus A))=A\setminus (B\setminus ((A\cap B\cap C)\cup ((B\cap C)\setminus A)))=...$ $...=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap B\cap C)\}$. Como $A\cap B\cap C\subset A\cap C\subset A\Rightarrow A\setminus (B\setminus C)=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap C)\}$
  • $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\setminus (A\cap C)$
  • $\therefore A\setminus (B\setminus C)=((A\setminus B)\setminus C)\cup (A\cap C)$

Diferença Simétrica

• Definição 1: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{x\in U;x\in A\cup B\;e\;x\not \in A\cap B\}$
• Definição 2: $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (A\setminus B)$

teorema

Teorema: Mostrar que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Prova:

• $Tome\;x\in (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\lor x\in (B\setminus A)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\lor (x\in B\land x\not \in A)\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\in B]\land [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\not \in A]\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in B^{C}\lor x\in A^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B^{C}\cup A^{C})]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B\cap A)^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\not \in (B\cap A)]\Rightarrow$
  • $[x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)]$
• $\Rightarrow (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\subset (A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Distributividade do conjuntos

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
  • $\forall x\in A\cap (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;ou\;(x\in A\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cap B\;ou\;x\in A\cap C\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cup C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • $\forall x\in A\cup (B\cap C)\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;e\;(x\in A\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup B\;e\;x\in A\cup C\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C\Leftrightarrow A-C=\varnothing$
  • $\Rightarrow :A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$. Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que $A-C=\varnothing$.
  • $Ao\;observar\;a\;igualdade\;A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$, que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, $A-C=\varnothing$, é suficiente para dizermos que $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$