Séries numéricas infinitas
editar
Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.
Definição: Seja
uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Observemos que
, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada
, temos uma nova seqUência gerada pela série.
Seqüência das somas parciais
editar
Seja
uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência
, onde





Definição: Seja
uma série e
a sua seqüência de somas parciais.
- Se
<
, a série é dita convergente e tem soma
;
- Caso contrário, a série diverge
Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.
Critério do termo geral
editar
Se
é uma série convergente, então
Se
, então
a série
diverge.
São séries do tipo
.
A série geométrica:
- Converge se e só se
ou
.
- Se
, então
(independentemente do valor de
). Se
, então
.
A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:
Se multiplicarmos a equação por
:
Subtraímos as duas equações acima e obtemos:
Finalmente, temos
se
e
. O que nos revela que a série converge para:
- Sejam
e
duas séries convergentes. Então
=
converge
- Se
converge (diverge) e
, então
converge (respectivamente, diverge) (se
, então
converge)
- Se
converge e
diverge, então
diverge
- Sejam as séries
e
tais que
a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.