Séries numéricas infinitas
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Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.
Definição: Seja
uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Observemos que
, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada
, temos uma nova seqUência gerada pela série.
Seqüência das somas parciais
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Seja
uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência
, onde
![{\displaystyle S_{1}=a_{1}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04adcbf8aca70ca9f1bfc29bcaf9e9547ebeda5)
![{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09507f377bc3f9f30e655f798d76aef09d0c9f6d)
![{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=S_{2}+a_{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9949f73f814f5619b5bba3439115aafd7f1d8ae)
![{\displaystyle \vdots \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7c7c21a2cb6071f93a8322f732029e9b88f16a)
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=S_{n-1}+a_{n}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c8c933a911a4dfaf69d1ab814073f013e860ea)
Definição: Seja
uma série e
a sua seqüência de somas parciais.
- Se
<
, a série é dita convergente e tem soma
;
- Caso contrário, a série diverge
Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.
Critério do termo geral
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Se
é uma série convergente, então
Se
, então
a série
diverge.
São séries do tipo
.
A série geométrica:
- Converge se e só se
ou
.
- Se
, então
(independentemente do valor de
). Se
, então
.
A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:
Se multiplicarmos a equação por
:
Subtraímos as duas equações acima e obtemos:
Finalmente, temos
se
e
. O que nos revela que a série converge para:
- Sejam
e
duas séries convergentes. Então
=
converge
- Se
converge (diverge) e
, então
converge (respectivamente, diverge) (se
, então
converge)
- Se
converge e
diverge, então
diverge
- Sejam as séries
e
tais que
a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.