Análise real/Topologia da reta: diferenças entre revisões
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Linha 160:
:<math>|x-y|\geq \hbox{dist}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,</math>
e o resultado segue.
'''2.''' Do fato que <math>S\subseteq \overline{S}\,</math> e da definição de ínfimo, temos:
:<math>\hbox{dist}(S,x)\geq\hbox{dist}(\overline{S},x) \,</math>
Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto <math>x\in\mathbb{R}\,</math> e defina
:<math>\delta:=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,</math>
Da definição de ínfimo, podemos construir a seqüência <math>\{y_n\}\,</math> tal que
:<math>y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<\delta+1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,</math>
Como <math>y_n\in\overline{S}\,</math>, da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos <math>z_n\,</math> tais que:
:<math>z_n\in S\hbox{ e } |z_n-y_n|<1/n\,</math>
Da desigualdade triangular, temos:
:<math>|z_n-x|\leq|z_n-y_n|+|y_n-x|<\delta+2/n\,</math>
Agora, basta estimar:
:<math>\hbox{dist}(S,x)\leq \inf_{n=1}^{\infty}|z_n-x|= \delta= \hbox{dist}(\overline{S},x) \,</math>
E o resultado segue.
'''3.''' Resta-nos demonstrar que se <math>F\,</math> é um conjunto fechado então
<math>\hbox{dist}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\,</math>
Da definição de ínfimo, podemos construir a seqüência <math>\{y_n\}\,</math> tal que
:<math>y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,</math>
Da definição de limite, temos que:
:<math>\lim_{n\to\infty}y_n=x\,</math>
Como <math>F\,</math> é um conjunto fechado, o limite <math>x\,</math> da seqüência <math>\{y_n\}\,</math> deve pertencer a <math>F\,</math>. Assim, o resultado segue.
==Conjuntos compactos==
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