Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: diferenças entre revisões
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==Séries numéricas infinitas==
'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
===Seqüência das somas parciais===
Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde
: <math>S_1 =
: <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2</math>
: <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3</math>
: <math>\vdots</math>
: <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n</math>
'''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais.
* Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|</math> < <math>\infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S
* Caso contrário, a série diverge
===Critério do termo geral===
Se <math>\sum a_n</math> é uma série convergente, então
===Teste da divergência===
▲==Série geométrica==
▲:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=1+r+r^2+r^3+\ldots</math>
Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0</math>, então
===Séries
São séries do tipo <math>\sum a \cdot r^{n-1}</math>.
A série geométrica:
▲:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}</math>
* Converge se e só se <math>a = 0</math> ou <math>|r| < 1</math>.
* Se <math>a = 0</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = 0</math> (independentemente do valor de <math>r</math>). Se <math>|r| < 1</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}</math>.
===Propriedades de séries===
* Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge
* Se <math>\sum a_n</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0</math> converge)
* Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge
* Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.
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