Álgebra abstrata/Números naturais: diferenças entre revisões

 

== Relação Binária ==

A relação binária é uma relação entre elementos de um conjunto, envolvendo um símbolo pelo qual é estabelecida uma relação entre seus elementos. De fato, temos os elementos a,b; que irão se relacionar em uma certa ordem (a,b) e que vai ser determinada pelo símbolo correspondente. Seja A o conjunto e sejam a,b,c representando todos os seus elementos, e que # seja o símbolo; dizer que A possui uma relação binária, é dizer que seus elementos possuem uma relação dependende do símbolo com cada elemento do conjunto. Assim (a,b), têm-se a # b; (b,c) têm-se c # b; (a,c) têm-se a # c;... Se o conjunto A possui uma relação binária envolvendo o símbolo #, definamos assim <A,#>

*Por exemplo: <math> < \mathbb{R},\le> </math> significando que cada elemento real possui uma relação com cada elemento do próprio conjunto. Assim <math> 1 \le 2; 10 \le 80; -1/2 \le 0,789; ... </math> Podemos dizer por simplicidade que <math> <\mathbb{R},\le> </math> é uma relação binária, pois todo elemento real possui uma relação de menor ou igual com qualquer outro elemento real

 

=== [[w:relação de equivalência|Relação de Equivalência]] ===

Estas declarações matematicamente concisas podem ser descritas em uma forma menos rigorosa. A primeira declaração afirma simplesmente que cada número natural é igual a si próprio. A segunda afirma que a declaração da igualdade é válida independentemente da ordem em que você diga isso. A última declaração diz que quando dois números naturais são iguais e um deles é igual a qualquer outra coisa pode-se concluir que os três são iguais. Estas são as premissas simples que fazemos quando falamos informalmente de igualdade. Esta pequena lista dá-nos uma forma de verificar se uma certa "igualdade" satisfaz nossas expectativas do que significa dizer que duas coisas são iguais.

 

 

# Tricotomia

#:<math>\forall m,n\in\mathbb{N}</math> uma e só uma das seguintes afirmações é válida

#: Nós denotamos <math>(m<n)\or(m=n)</math> como <math>m\le n</math>. Analogamente, denotamos <math>(m>n)\or(m=n)</math> como <math>m\ge n</math>

# Transitividade de <math><\ </math>, <math>>\ </math> e <math>=\ </math>.