Análise real/Unicidade dos números reais: diferenças entre revisões
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Linha 34:
A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função <math>\phi</math> entre os corpos <math>\mathbb{F}</math> e <math>\mathbb{K}</math> e então provar que essa função é um isomorfismo;
Antes disso, será provado um lema mais simples
==== Lema ====
Se <math>\mathbb{F}\,</math> é um corpo ordenado, então existe uma função bijetiva <math>\phi: \mathbb{Q} \into Q' \subseteq \mathbb{F}\,</math> que é um isomorfismo de corpos ordenados.
Prova do lema:
Para deixar explícito que <math>\mathbb{F}\,</math> é um conjunto qualquer, serão usados ''0' e 1' '', respectivamente, para os elementos neutros aditivos e multiplicativos em <math>\mathbb{F}\,</math>.
A função φ será o único isomorfismo satisfazendo
: <math>\phi(1) = 1'\,</math>
A sua existência pode ser demonstrada construíndo-a:
: <math>\phi(0) = 0'\,</math>
Por indução,
: <math>\forall n \in <math>\mathbb{N}, \phi(n+1) = \phi(n) + 1'\,<\math>
Generalizando para inteiros negativos:
: <math>\forall n \in <math>\mathbb{N}^{*}, \phi(-n) = -\phi(n)\,</math>
Generalizando para os números fracionários:
: <math>\forall p, q \in <math>\mathbb{Z}, q > 1, \phi(p/q) = \phi(p) / \phi(q)\,</math>
.... ainda falta continuar isso ....
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que <math>\mathbb{F}, \mathbb{K}</math> são corpos, então existe <math>0,1 \in \mathbb{F}</math> e <math>0',1' \in \mathbb{K}</math>, nada mais natural que definirmos:
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