Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões
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== Definição de número primo ==
{{Definição
|Um ''número primo'' é um número natural que tem exatamente dois divisores positivos (distintos).
Um número que não é primo é chamado de ''composto''.
}}
Linha 37:
== Teorema da existência de fatoração ==
{{Teorema
|Todo número inteiro positivo tem decomposição em fatores primos.
}}
{{Demonstração|;Demonstração
Linha 197:
== Teorema de Euclides ==
{{Teorema
|Existe uma infinidade de números primos.
}}
=== Demonstração de Euclides ===
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== Teorema fundamental da aritmética ==
{{Teorema
|A decomposição de um número inteiro <math>n \in \mathbb{N}^*\,\!</math> em fatores primos é única, exceto pela ordem. Em símbolos:
Se <math>p_1\cdot\ldots\cdot p_r = n = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!</math>, e cada <math>p_j\,\!</math> e todo <math>q_j\,\!</math> é um número primo, então <math>r=s\,\!</math> e para cada <math>j\,\!</math> tem-se <math>p_j = q_{\sigma(j)}\,\!</math>, para alguma permutação <math>\sigma\,\!</math>.
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Na demonstração deste resultado será assumido que é válido um outro teorema, cuja justificativa só será apresentada no próximo capítulo. Trata-se de uma propriedade bastante elementar, que já era conhecida por [[w:Euclides|Euclides]] (alguns anos A.C):
<center><div style="width:75%;">
{{Teorema
|Se um número primo divide o produto de dois números inteiros, então ele é divisor de um dos dois.
}}<code><font color=red>(I)</font></code>
</div></center>
Linha 352:
== Corolário ==
{{Teorema
|Todo <math>n \in \mathbb{N}^*\,\!</math> pode ser escrito como <math>n = p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{e_r}\,\!</math>, com <math>p_1< p_2<\ldots<p_r\,\!</math> e <math>e_i\ge 1\,\!</math>.
}}
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