Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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Linha 25:
<math>x = x_0 - b't\,\!</math> e <math>y = y_0 +a't\,\!</math>, onde <math>a=a'd\,\!</math> e <math>b=b'd\,\!</math>.
}}
{{Demonstração
|Primeiramente, observe que se <math>(x,y)\,\!</math> é uma solução, então <math>d|ax+by = n\,\!</math> (pela linearidade da divisibilidade).
Reciprocamente, se <math>d|n\,\!</math>, então <math>n=n'd\,\!</math>.
Linha 233:
Na verdade, se <math>x, y, z\,\!</math> for uma solução, então o máximo divisor comum destes números verifica as seguintes igualdades:
:<math>(x, y, z) = (x, y) = (x, z) = (y, z)\,\!</math>
{{Justificativa}}
Em particular, não podem haver <math>x, y\,\!</math> não podem ser ambos pares.
Linha 335 ⟶ 334:
Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente:
{{Demonstração
|De fato, foi mostrado que se <math>x^2 + y^2 = z^2\,\!</math>, com <math>(x,y,z)=1\,\!</math> então <math>x,y\,\!</math> não têm a mesma paridade. Adimitindo que <math>x\,\!</math> seja ímpar e que <math>y\,\!</math> seja par, conclui-se que <math>z\,\!</math> é impar e portanto:
:<math>y^2 = z^2 - x^2 = (z+x)(z-x)\,\!</math>
Mas é verdade que <math>(z+x,z-x)=2\,\!</math>, pois a soma e a diferença de dois números ímpares são números pares.
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