Teoria de números/Congruências

Carl Friedrich Gauss
Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg

Carl Friedrich Gauss foi um famoso matemático, astrônomo e físico alemão.

Crystal Clear app kaddressbook.png Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir breve biografia sobre Carl Friedrich Gauss, enfatizando suas contribuições na teoria de números.

DefiniçãoEditar

Definição

O inteiro   é dito congruente ao inteiro   módulo  , quando  . Neste caso, escreve-se  .

Com essa notação, tem-se para quaisquer inteiros  :

 

pois

 

e

 

Como se pode ver na próxima tabela, onde são listadas todas as combinações possíveis para   e   módulo  , a soma de dois quadrados nunca é congruente a   módulo  .

  0 1
0 0 1
1 1 2

Em outras palavras, o simples cálculo feito acima mostra que ao somar dois quadrados perfeitos, o sucessor do resultado nunca é múltiplo de  .

Nota
   

Sendo assim, a notação para congruências, introduzida por Gauss evita o uso de várias constantes ( ) que não são relevantes durante grande parte dos cálculos envolvendo divisibilidade. Atente para a semelhança (visual) entre as seguintes expressões:

 
 
Observação

Conforme o algoritmo da divisão, dados   e  existem únicos   de modo que:

 , com  

Isso significa que qualquer inteiro   é congruente ao seu resto   na divisão por um inteiro não nulo  . Uma vez que o resto obtido é único, pode-se definir para cada inteiro   fixado, uma função   que a cada número   associa o resto da divisão de   por  . A imagem de   por esta função é denotada por  . Mais precisamente:

 
 

Quando não houver risco de confusão, o índice   será omitido e será escrito apenas   em vez de  .

A congruência vista como uma relação de equivalênciaEditar

A partir da noção de congruência módulo um certo inteiro  , pode-se definir uma relação sobre o conjunto dos números inteiros da seguinte forma:

 

Como será mostrado logo a diante, a relação assim definida satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria, transitividade. Sendo, por isso, considerada uma relação de equivalência:

  1.  
  2.  
  3.  

De modo geral, é sempre possível construir uma relação de equivalência sobre um conjunto   a partir de uma função cujo domínio seja  . De fato, se for definido que:

 

então   será uma relação de equivalência em  , pois  :

  1.  
  2.  
  3.  

E destas propriedades da igualdade seguem as propriedades correspondentes para a relação  . Em particular, tomando  , e  , conclui-se que a congruência é uma relação de equivalência.

Compatibilidade com as operaçõesEditar

Um fato importante, que não pode deixar de ser mencionado é que a relação de congruência é compatível com as operações do anel dos números inteiros, a saber, a adição e a multiplicação. Uma operação  é compatível com uma relação de equivalência   quando a partir de

 

pode-se concluir que

 

No caso da relação de congruência, vê-se que a mesma é compatível tanto com a adição quanto com a multiplicação de números inteiros, como é sintetizado no próximo resultado.

Teorema

Se   são números inteiros tais que:

 
então:
 

A verificação deste resultado é bem simples, como se pode ver a seguir.

Demonstração
Primeiramente, da hipótese sobre os inteiros  , segue que existem inteiros  , tais que
 

Donde,

 .

ou seja,

 .

Além disso,

 

onde

 

Logo,

 

ou seja,

 

O anel das classes de congruênciaEditar

 
Uma relação de equivalência particiona um conjunto em vários subconjuntos disjuntos, chamadas classes de equivalência.

Sempre que se tem uma relação de equivalência   sobre um conjunto   é possível definir uma partição   de tal conjunto. Uma coleção   de subconjuntos de   é chamada de partição de   se todo elemento de   pertence a exatamente um elemento de  . Os elementos de   são disjuntos dois a dois, e sua união é o próprio conjunto  .

Para definir uma partição de  , usando a congruência módulo  , primeiramente define-se para cada inteiro   a classe de equivalência de  , segundo  , como:

 

Quando o inteiro   estiver subentendido, será utilizado apenas   para denotar  .

Nesses termos, o quociente de   pela relação   é a partição dada por:

 

Por simplicidade, denota-se   simplesmente como  .

Uma das formas de visualizar essa partição de   é imaginar que sobre um barbante foram marcados todos os números inteiros, separando os números adjacentes sempre por uma mesma distância. Depois disso, para obter uma representação de  , enrola-se o barbante em torno de uma circunferência (infinitas vezes!), de modo que o zero ocupe a mesma posição que os inteiros  . Você pode então pensar nos elementos de   como sendo os n pontos sobre a circunferência que se formou. Veja uma ilustração:

 

Deste modo, cada ponto da circunferência representa uma das classes de equivalência módulo  , ou seja, o conjunto dos números inteiros que ficaram sobrepostos naquele ponto da circunferência.

Mas o que há de interessante em particionar o conjunto dos números inteiros?

A grande utilidade de separar os números inteiros em várias classes de congruência é consequência da compatibilidade da congruência com as operações de adição e multiplicação: Sabendo-se que elas são compatíveis, é possível definir em cada   novas operações de adição e multiplicação. O procedimento é o seguinte:

Fixado um inteiro  , e dadas as classes  , define-se:

 
  (ou simplesmente  )

Em outras palavras, a soma (produto) das classes de congruência dos inteiros   é a classe de congruência de sua soma (produto).

É importante notar onde é utilizada a compatibilidade da congruência com as operações de  : Dadas duas classes de equivalência   e  , tanto faz obter   como sendo   ou  . Todas essas classes são idênticas!

Mais do que isso, ao definir essas operações,   torna-se um anel com unidade, ou seja, são válidas as seguintes propriedades:

Além disso, tem-se um homomorfismo de anéis entre   e  :

 
 

Recordando...
Um anel com unidade é um conjunto R equipado com duas operações binárias + : R × R ? R e · : R × R ? R (onde × denota o produto cartesiano), chamadas de adição e multiplicação, tais que:
  • (R, +) é um grupo abeliano com elemento identidade, isto é, para todo a, b, c em R, vale o seguinte:
    • (a + b) + c = a + (b + c) (+ é associativa)
    • 0 + a = a (0 é a identidade)
    • a + b = b + a (+ é comutativa)
    • para cada a em R existe −a em R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 (−a é o elemento inverso de a)
  • (R, ·) é um monóide com elemento identidade 1, isto é, para todo a, b, c em R, vale:
    • (a · b) · c = a · (b · c) (· é associativa)
    • 1 · a = a · 1 = a (1 é a identidade)
  • Multiplicação se distribui em relação a adição:
    • a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
    • (a + b) · c = (a · c) + (b · c).

ExemplosEditar

As próximas tabelas são as tabuadas das operações de adição e multiplicação no anel  . Note que este é um número composto, e que (por esse motivo) existem elementos não nulos em   cujo produto é zero (no caso,  ).

  0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
  0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Outro fato curioso que pode ser identificado em alguns anéis é a presença de elementos nilpotentes, ou seja, tais que alguma de suas potências é nula. Por exemplo, em  , tem-se  .

Veja a tábua de multiplicação completa para o anel de inteiros módulo  :

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
3 0 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 9
4 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8
5 0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7
6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6
7 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5
8 0 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4
9 0 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3
10 0 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2
11 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

O próximo passo é tentar compreender algebricamente os conjuntos  .


  Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Revisar/reescrever/excluir o trecho a seguir (até onde diz "Corolário da p7").

No próximo diagrama pode ser observada a estrutura aditiva de  :

 
 
 

  é subgrupo aditivo de  .

 ,   subgrupo aditivo de  

 
 
 . Logo  
 
 
 
 

Menor   tal que  .  

 
  gera  , ou seja são os blocos básicos.

Observe a seguinte tabela, onde constam as ordens aditivas módulo 6.

  1 2 3 4 5 6
0 0
1 1 2 3 4 5 0
2 2 4 0
3 3 0
4 4 2 0
5 5 4 3 2 1 0
 
 . Logo  

Corolário da p7

Se p é primo então   não tem subgrupos triviais.
 
  ou  . Isso implica que   ou  , donde   é domínio de integridade e portanto,   é corpo (todo domínio finito é corpo).

Exemplo:

  0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Outra consequencia é que, fixado z não nulo em Z_p, a função  , definida por   é injetiva, pois se  , ou seja,  , então  . Como  , pode-se concluir que  , ou seja,  .

Em particular, da sobrejetividade de  , e de   (a imagem de  ), segue a existência de   tal que  , ou seja, tal que  .

Algebricamente, o significado da sobrejetividade de   é a existência de um elemento inverso para cada   (quando p é primo). No entanto, a argumentação anterior é não construtiva, pois não indica um método para obter o inverso de um certo  .

Pode-se obter outra justificativa para a existência de elementos inversos em   usando o teorema de Bezout. De fato,   se, e somente se,  , ou seja, se, e somente,  . Usando o algoritmo de Euclides, pode-se então encontrar   tais que  . Em particular, usando congruências módulo p segue  . Donde  , ou seja,  . Portanto, o   procurado é simplesmente  .

ResumindoEditar

Os fatos mais relevantes apresentados na discussão feita até agora podem ser sintetizados da seguinte forma:

  • Para qualquer  , tem-se um anel finito  ;
  • São equivalentes:
    •   é corpo;
    •   é um domínio;
    •   é um número primo;
(propriedades algébricas dos conjuntos   -- anéis regulares --correspondem a propriedades aritméticas dos numeros inteiros  ).
  • São também equivalentes:
    •   tem divisores de zero;
    •   é um número composto;

UnidadesEditar

Para um inteiro   arbitrário (seja ele primo ou não), podem ser considerada a questão:

Quais elementos de   são inversíveis?

Antes de responder essa pergunta, convém introduzir uma notação específica para denotar o conjunto dos elementos   que possuem inverso multiplicativo:

Definição

Um elemento de   é chamado de unidade quando possui inverso multiplicativo. O conjunto das unidades de   denota-se por  .

ExemplosEditar

  • Se p é número primo, então  
  •  
  •  

Propriedades das unidadesEditar

Pode-se verificar que para qualquer  , o conjunto  , das unidades de  , é um grupo multiplicativo finito. Em particular, sempre que  , tem-se  . Além disso,   e existe   tal que  .

Novamente, a estrutura de   reflete as propriedades aritméticas de  . Para melhor entender o que isso significa, é interessante saber para cada   a quantidade de elementos de  . É razoável esperar que esse número varie com  , então o melhor é definir uma função que associa   com a cardinalidade de  :

Definição

A função   de Euler é a função que associa a cada   o número de elementos de  :

 

Observações
  • Convenciona-se que  .
  • O valor   é justamente a quantidade de números de   a   que são coprimos com  :
Demonstração
De fato, se  , então existe   tal que  , ou seja,  . Isso significa que  , ou seja, que  . Segue que  .

Reciprocamente, se  , então   (teorema de Bézout). Logo,   e consequentemente,  . Neste caso,  .

ExemplosEditar

  • Quando   é um número primo, tem-se  .
  • Por outro lado, para números compostos,   pode ser bem menor do que  . Em particular,  .

CuriosidadesEditar

O valor de   é justamente a quantidade de frações próprias não negativas com denominador   (ou seja,  ) que já estão na forma irredutível.

ExemploEditar

No caso   apresentado anteriormente, temos as seguintes frações próprias com tal denominador:

 

Escrevendo cada uma delas na forma irredutível obtém-se:

 

Pode-se então conferir que, como era esperado, só duas das frações já estavam em sua forma irredutível:   e  .

Note que ao escrever cada fração em sua forma irredutível os denominadores que surgem são todos divisores de  . Além disso, tem-se:

  • 1 fração com denominador 1
  • 1 fração com denominador 2
  • 2 fração com denominador 3
  • 2 fração com denominador 6

Totalizando   frações. Por outro lado, a seguinte tabela indica um fato muito interessante:

d Número de frações com denominador d  
1 1 1
2 1 1
3 2 2
6 2 2

Percebe-se que as duas últimas colunas coincidem. Mas o que isso significa?

Isso quer dizer que o número   é, na verdade, igual a soma dos valores   de cada um dos divisores  . Em símbolos:

 

Pode-se verificar que essas duas propriedades são válidas em geral:

  •   é igual à quantidade de frações próprias não negativas com denominador que estão na forma irredutível.
  •  
Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

Equações linearesEditar

Uma questão muito natural é investigar em que casos há alguma solução para equações lineares do tipo

 

Exemplo de equação linear com apenas uma soluçãoEditar

Considere em   a seguinte equação:

 

ou, em termos de congruências,

 

Sabendo que  , é possível determinar   tais que

 

Por exemplo, pode-se tomar   e  . Outra possibilidade é   e  . Neste caso, nota-se que:

 

ou seja,

 

significando que   em  , ou seja, que neste anel o inverso multiplicativo de   é ele mesmo. Sabendo disso, é possível resolver

 

de forma análoga à utilizada em  : Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de  , segue:

 

ou seja,

 

Conclui-se então que, nesse exemplo, há uma somente uma solução em   para a equação dada. Observe ainda que o número   não teve qualquer influência no número de soluções para o problema. Isso pode ser percebido considerando para cada   o resultado de sua multiplicação por  :

0 1 2 3 4 5 6 7
  0 3 6 1 4 7 2 5

Note que se tem uma permutação dos elementos de   e que, portanto, o único elemento que é levado em   ao ser multiplicado por   é o  . Essa unicidade permaneceria se o   fosse trocado por qualquer outro elemento.

Exemplo de equação linear sem soluçãoEditar

Considere a seguinte equação em  :

 

que em termos de congruências se escreve como

 

Já foi mostrado que ela é equivalente à seguinte equação em  :

 

ou seja,

 

É claro que tal equação não admite sequer uma solução inteira, uma vez que à esquerda tem-se um número par e a direita um ímpar, ou para ser mais exato, pois  .

Exemplo de equação linear com duas soluçõesEditar

Como um último exemplo antes de conhecer o teorema que dá uma resposta definitiva sobre o número de soluções de uma equação linear em  , considere em   a equação:

 

ou seja,

 

O problema de encontrar soluções para esta equação é equivalente a encontrar inteiros   tais que:

 

Dividindo ambos os membros por dois, obtem-se

 

ou seja,

 

Em termos de congruências, segue:

 

Os números inteiros que verificam essa congruência são os termos da progressão aritmética:

 

No entanto, como as soluções são buscadas em  , devemos considerar os números acima módulo  :

 

ou seja, o conjunto das soluções é:

 

Em suma, verificou-se através dos exemplos anteriores que é possível encontrar em   equações do tipo   que possuam uma ou duas soluções, e mesmo equações que não adimitem solução. Essa é uma notavel diferença entre corpos (como  ,   e  ) e anéis. Por exemplo, em   ou   você deve estar habituado a resolver  , simplesmente dividindo os dois membros por   (e talvez descrevendo esse procedimento como "passar o   para o lado direito, dividindo..."). No entanto, é tempo de notar que isso só é possível quando   possui inverso. Em  , todo número não nulo possui inverso. Mas isso não é verdade em todo anel! Por essa razão torna-se necessário tomar algum cuidado ao resolver equações nos aneis  . Fique atento!

ExercíciosEditar

  1. Mostre que, se   e   é um polinômio com coeficientes inteiros, então  .
  2. Que propriedade aritmética do número inteiro   corresponde a existência de elementos nilpotentes em  ? (Lembre-se, um elemento é nilpotente quando alguma de suas potências inteiras é igual a zero)