Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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A verificação deste resultado é bem simples, como se pode ver a seguir.
|Primeiramente, da hipótese sobre os inteiros <math>a, a', b, b'\,\!</math>, segue que existem inteiros <math>A, B \in \mathbb{Z}\,\!</math>, tais que▼
▲{{Demonstração|
▲Primeiramente, da hipótese sobre os inteiros <math>a, a', b, b'\,\!</math>, segue que existem inteiros <math>A, B \in \mathbb{Z}\,\!</math>, tais que
:<math>\left\{\begin{matrix}
Linha 429 ⟶ 428:
* Convenciona-se que <math>\phi (1) = 1\,\!</math>.
* O valor <math>\phi (m)\,\!</math> é justamente a quantidade de números de <math>1\,\!</math> a <math>m\,\!</math> que são coprimos com <math>m\,\!</math>:
{{Demonstração
|De fato, se <math>\bar{x} \in U_m \,\!</math>, então existe <math>\bar{y} \in U_m \,\!</math> tal que <math>\bar{x} \bar{y} = \overline{xy} = \bar{1} \,\!</math>, ou seja, <math>xy \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>. Isso significa que <math>xy=1+nk\,\!</math>, ou seja, que <math>xy + m(-k)=1 \,\!</math>. Segue que <math>(x,m)=1\,\!</math>.
Reciprocamente, se <math>(x,m)=1\,\!</math>, então <math>xy + mz =1 \,\!</math> (teorema de Bézout). Logo, <math>xy \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math> e consequentemente, <math>\bar{x} \bar{y} = \bar{1} \,\!</math>. Neste caso, <math>\bar{x} \in U_m \,\!</math>.
Linha 483 ⟶ 482:
* <math>m = \sum_{d|m} {\phi (d)} \,\!</math>
{{Justificativa}}
== Equações lineares ==
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