Teoria de números/Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.

Considere o seguinte problema:

Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?

Matematicamente, o que se quer saber é:

Quais os valores de  para os quais a solução  possui alguma solução inteira?

Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

As equações diofantinas linearesEditar

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte:   Aqui, os inteiros   e   são fixados.

Quando é que tal equação possui solução?

O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

Teorema

Dados   existem   tais que   se, e somente se,   Além disso, se   é solução, então todas as soluções são da forma:   e   onde   e  

Demonstração
Primeiramente, observe que se   é uma solução, então   (pela linearidade da divisibilidade).

Reciprocamente, se   então  

Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros   tais que   Logo, multiplicando cada membro por   tem-se:

 

ou seja, basta tomar   e   e   será uma solução.


Resta determinar a forma geral de todas as soluções.

Se   for uma solução conhecida, qualquer outra solução   satizfaz:

 

Então   ou seja,  

Tomando   é possível escrever

  •  
  •  

Donde:

 

Claramente   e  

Logo

 

ou seja, existe   tal que

 

Portanto,  

Usando essa expressão em

 

resulta

 

Disto se conclui que  

Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso,  )

Agora é possível resolver o problema proposto no início.

AplicaçãoEditar

Será que existem números inteiros   que verificam  

Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portanto infinitas) é preciso que  

Pelo algoritmo de Euclides obtem-se   além de   Multiplicando ambos os membros por   segue que:

 

Assim, as demais soluções são da forma:

  •  
  •  

No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:

  •  
  •  

que são equivalentes a

 

Para que exista algum valor inteiro   nesse intervalo, é suficiente que   ou seja,

 

Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de   também há soluções:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

A conclusão final é que, utilizando apenas notas de   e de   é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a  

Interpretação geométricaEditar

Sabe-se que o conjunto dos pontos   (com coordenadas reais) que verificam a equação   é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina   são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.


  Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir figura mostrando uma reta   que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.

Diferença de quadradosEditar

Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:

 

Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro   que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros   que são soma de quadrados.

Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:

  •   tem soluções inteiras?
  •   tem soluções inteiras?

Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução  

 

O que se pode afirmar sobre esses dois números inteiros?

Primeiramente, deve valer   ou seja, a soma e a diferença das soluções devem ser divisores de   Sabe-se, por exemplo, que   Será que existem inteiros   tais que

  •  
  •  

Por inspeção, percebe-se que   e   servem, logo  

E quanto ao outro problema?

É possível encontrar um par de divisores de   (por exemplo,   e  ) tais que um seja a soma, e outro a diferença das soluções?

Observe:

Divisores de  
   
   
   
   
   

Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.

Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem   satisfazeno a equação em sua forma geral:

 

Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de   tais que   tem-se   e   ou seja, para tais divisores de   existe uma solução   para o sistema:

 

Equivalentemente, tais inteiros   são também solução do sistema:

 

Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que   devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como   para nenhum valor inteiro  

Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema

TeoremaEditar

Teorema

Um número inteiro   pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos,   se e somente se   é ímpar ou múltiplo de  

Demonstração
A argumentação precedente mostrou que se   então   sendo que   têm a mesma paridade.

Reciprocamente, se   têm a mesma paridade, então sua soma e sua diferença são números pares, significando que o sistema

 

possui uma solução. Mas o conjunto solução deste sistema coincide com o de:

 

Logo,  

Para finalizar a demonstração, note que as paridades de   são iguais se, e somente se:

  1.   são ímpares ou
  2.   são pares

Mas   são ímpares se, e somente se,   é ímpar. Além disso, para que   sejam pares, é necessário e suficiente que   e   Neste caso,   ou seja,   é múltiplo de  

Uma forma direta de obter a representação de   como diferença de quadrados é a seguinte:

  • Se   é múltiplo de  
Nessa situação,  
  • Se   é ímpar.
Nesse caso,  

ExemploEditar

Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:

  •  

De fato,   não é ímpar e nem múltiplo de  

Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:

  •  

Como   segue que  

Ternos pitagóricosEditar

Um pouco de história

Pitágoras foi um matemático e filósofo grego nascido por volta de 570 a.C., na ilha de Samos. Ele é creditado pela demonstração de uma importante relação entre os lados de um triangulo retângulo, hoje conhecida como o teorema de Pitágoras, cujo enunciado é geralmente resumido da seguinte forma:

O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois lados.

Um terno pitagórico é uma tripla de números inteiros   que satisfazem a equação:

 

Por exemplo,   então   é um terno pitagórico. Obviamente,   também é um terno pitagórico, mas este último caso é trivial e sem interesse, portanto não será considerado na discussão que segue. O objetivo dessa seção é determinar em que circunstâncias a equação   tem solução   não trivial (não todos nulos).

É possível simplificar a investigação, considerando somento o caso em que   são primos entre si. De fato, se   então:

 

Na verdade, se   for uma solução, então o máximo divisor comum destes números verifica as seguintes igualdades:

 
Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

Em particular, não pode haver   não podem ser ambos pares.

Por outro lado, os inteiros   também não podem ser ambos ímpares.

De fato, se assim ocorresse, valeria:
  •   para algum inteiro  
  •   para algum inteiro  
Deste modo, elevando cada um destes números ao quadrado, resultaria:
  •   e
  •  
Donde:
  •  
Ou seja, a soma dos quadrados de   e   seria par, mas não pertenceria a  
No entanto, sempre que   é par, tem-se   par e consequentemente  
Logo, quando   são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.

Segue que dos inteiros   um é ímpar e outro é par. Sem perda de generalidade, pode-se supor que   é par e   é ímpar.

Uma outra forma de escrever a equação original é:

 

A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Por exemplo,   pois:

 

A segunda implicação vale pois   Logo,  

Mas não pode ocorrer   senão:

 

e como   é par,   também seria, coisa que não é possível já que  

Assim, o quadrado perfeito   é o produto de dois números primos entre si. Disso decorre que cada um deles deve ser um quadrado perfeito (veja o exercício 1), ou seja:

 

que equivale a:

 

Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:

 

devem existir inteiros   ímpares e primos entre si, tais que   e:

 

Claramente, para quaisquer inteiros   os valores de   obtidos pelas fórmulas acima são ternos pitagóricos, pois:

 

ExemplosEditar

Pode-se obter facilmente uma dezena de ternos pitagóricos utilizando as fórmulas:

 

Alguns deles são listados na tabela a seguir:

parâmetros ternos pitagóricos
         
3 1 3 4 5
5 1 5 12 13
7 1 7 24 25
9 1 9 40 41
5 3 15 8 17
7 3 21 20 29

Note ainda que toda solução é da forma:

 

onde:

 

ObservaçõesEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Terno pitagórico

A fórmula clássica para a obtenção de ternos pitagóricos é conhecida como Fórmula de Euclides, por ter sido apresentada nos Elementos de Euclides é a seguinte:

 

Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente:

Demonstração
De fato, foi mostrado que se   com   então   não têm a mesma paridade. Adimitindo que   seja ímpar e que   seja par, conclui-se que   é impar e portanto:
 

Mas é verdade que   pois a soma e a diferença de dois números ímpares são números pares. Donde

 

que é equivalente a:

 

sendo que  

Disso se conclui também que:

 

ExercíciosEditar

  1. Mostre que se   com   primos entre si, então   são quadrados perfeitos.