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Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: diferenças entre revisões

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alguns ajustes na parte de continuidade
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==Continuidade==
 
O básico conceito de continuidade representa a expressãoexpressa da isençãoausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.
 
Ao definir o conceito de '''continuidade''', o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de ''quebras'' ou ''saltos'' em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela ''"cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel"''. Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma ''interpretação'' do conceito, e que este é muito mais amplo.
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|-
| style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top |
'''Definição: (continuidadefunção contínua em um ponto)'''<br>
 
Se <math>f(x) \;</math> é definidodefinida num intervalo aberto contendo <math>c \;</math>, então <math>f(x) \;</math> é ditodita ser '''contínuocontínua em <math>c \;</math>''' se, e somente se <math>\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)</math>.
|}
 
Para exprimir essaem característica matematicamente, diremossímbolos que uma função <math>f(x)</math> é '''contínua''' no ponto <math>a</math>, quandoescreve-se:
 
<math> \forall \; \epsilon > 0, \; \exists \; \delta > 0 \; \quad|\quad \forall \; x \in D_f, |x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \epsilon </math>,
 
Isto significa que:
* <math>\exists \; \lim_{x \rightarrow c} f(ax) </math>▼
Ou seja:
* <math>\exists f(1a)=2 \; </math>.▼
* <math>\exists \; \lim_{x \rightarrowto ca} f(x)\ =\ f(a) </math>
 
▲ <math>\exists f(a) </math>
 
<math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math>
 
Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.
 
Exemplo:
* Considere a função <math>f</math> definida por <math> f(x) = \begin{cases}
*<math> f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & \mbox{se } x \ne 1 \\ 2 , & \mbox{se } x = 1
2 , & \mbox{se } x = 1
\end{cases} </math>
 
*<math> \lim_{x \to 1}f(x) \; \exists \;\Leftrightarrow \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}</math>. Como <math> \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = 2 = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}</math>, Logo o limite existe, e o limite é 2.▼
Tem-se:
▲*<math> f(1)=2 \; </math>.
▲* <math> \lim_{x \to 1}f(x) \; \exists \;\Leftrightarrow \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}</math>. Como <math> \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = 2 = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}</math>, Logose conclui que o limite existe, e oé limiteigual éa 2.
▲ * <math>\lim_{x \to a}f(x1)\=2 =\ f(a); </math>.
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math>
 
Obtido em "https://pt.wikibooks.org/wiki/Cálculo_(Volume_1)/Limites_e_Continuidade"