Análise real/Série: diferenças entre revisões
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Linha 13:
== Convergência de uma série ==
===Teste
'''Proposição:''' é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda pra 0.
Se <math>s = \lim s_n = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;</math> é uma série convergente então <math>\lim \; a_n = 0</math>
;Demonstração
Linha 31 ⟶ 33:
** <math>p = a - \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n\,</math>
** Se <math> a_n \ge 0, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow p<a </math>
== Exemplos ==
===Série geométrica===
A '''série geométrica''' é a é formada por termos em progressão geométrica:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=1+r+r^2+r^3+\ldots</math>
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
:<math>\sum_{n=0}^{N}r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}</math>
É facil ver que se <math>|r|<1</math> então esta série é convergente e sua soma é dada por:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}</math>
Por outro lado, se <math>|r|\ge 1</math>, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.
De maneira geral, para qualquer serie geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}</math>
Onde "a" é o termo inicial da serie.
== Notas ==
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