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Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões

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{{Navegação/Simples|IsomorfismosFuncionais lineares|OperadoresEspaços especiaisbiduais}}
 
==Operadores especiais==
{{Rdc}}
 
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>)
===Funcionais Lineares===
:* Unitário (<math>(S + T)^* = S^* + T^*{-1}</math>)▼
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)
 
==Operador auto-adjunto==
{{Definição▼
|Uma função <math>f: V \rightarrow K </math>, onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K</math>:
 
▲{{Definição
:<math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math>
:|<math>f(T: V \lambdarightarrow v)V</math> =é \lambdachamado de auto-adjunto se <math>T^* = f(v)T</math>.
}}
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A</math>.
 
* Se <math>K = R</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica.
* Se <math>K = C</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana.
 
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
{{Teorema||(existência e unicidade)
|Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math>
}}▼
 
: Se <math> \langle T(u), v \rangle = 0, \langleforall u, T^*(v) \ranglein V</math>, \quadentão \forall<math>T u,= v \in V0</math>.▼
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>.
 
'''Prove''':
{{Teorema||(base dual)
 
|Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
é* umaSe base<math>T^* de= V, então existeT</math> uma única basee <math>\beta^*langle =T(u), u \{f_1,rangle = f_20, \ldots,forall u f_n\}in V</math>, deentão <math>V^*T = 0</math>.
* Seja <math>fT: V \rightarrow KV</math>, umcom funcional'''V''' linearcomplexo. Então existe<math>T^* um= únicoT vetor\iff <math>v_o\langle T(v), v \rangle \in VR</math>, tal.▼
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
 
}}
==Operador unitário==
 
{{Definição
|:<math>T: V \beta^{*}rightarrow V</math> é chamadachamado de baseunitário dual dese <math>\betaT^* = T^{-1}</math>.
:<math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}
 
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>
'''Corolários''':
 
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
'''Prove''':
==Teoremas==
{{Teorema||(representação dos funcionais lineares)
|Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno, e
▲<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V</math>, tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>.
}}
 
* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno)
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma)
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário
 
==Operador normal==
==Adjunto de um operador linear==
 
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T</math>.
|Seja '''V''' um espaço vetorial.
▲}}
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math>
 
'''Prove''':
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:
 
* Todo operador auto-adjunto é normal
▲:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
* Todo operador unitário é normal
}}
 
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
 
==Subespaço invariante==
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
 
{{Definição
▲:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
|'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V</math>, se <math>T(W) \subset W</math>.
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
 
{{Proposição
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante.
 
'''Prove''':
 
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
{{|Corolário
|Seja* Se '''VW''' umé espaço'''T'''-invariante vetorial sobree '''KT''' é auto-adjunto, <math>\mathrm{dim}então V'''W''' =é n<math>T^*</math>, com produto interno-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W</math>.
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W</math>.
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
}}
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.
 
{{Esboço|Matemática}}
{{AutoCat}}
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