Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões
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A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total ''"x"'' de porções ''"T"'' em ''"n"'' recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:
<math> T= \frac{x}{n} \,\!</math>
A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes ''"n"'' e calculássemos o valor de ''"x"'', mantendo ''"T"'' constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa ''"T"'' é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.
Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial <math>S_i \,\!</math> e um final <math>S_f \,\!</math>, além de um instante inicial <math>t_i \,\!</math>e um final <math>t_f \,\!</math>, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:
<math> V_m = \frac{S_f-S_i}{t_f-t_i} \,\!</math>
ou
<math> V_m = \frac{\Delta S}{\Delta t} \,\!</math>
Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de <math> \Delta t \,\!</math> se aproxime de zero:
<math> v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t} \,\!</math>
Isto não nos lembra algo conhecido?
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A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função ''"s"'' em função do tempo, depois podemos obter a derivada de ''"s"'' com relação a ''"t"'' e teremos:
<math> v= s\ '(t) = \frac{\mbox{d}s}{\mbox{d}t} \,\!</math>
Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função <math> s(t) \,\!</math>, todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.
Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:
<math> a=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta v}{\Delta t} \,\!</math>
O que nos dá a aceleração instantãnea:
<math> a = \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t} \,\!</math>
ou
<math> a = \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2} \,\!</math>
Note que ao derivarmos a função <math>s(t) \,\!</math> duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:
<math> a = s\ ''(t)= \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2} \,\!</math>
Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.
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