Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões
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Linha 213:
|título=Teste da derivada primeira
|texto=
Seja a função <math>f(x) \,\!</math> em um intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, dizemos que a função é crescente quando:
|fórmula=
{{destaque|<math>f\ '(x)>0 \,\!</math>}}
Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente:
{{destaque|<math>f\ '(x)<0 \,\!</math>}}
E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto:
{{destaque|<math>f\ '(x)=0 \,\!</math>}}
}}
É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:
Se <math>f(x) \,\!</math> é contínua, existe <math>f\ '(x) \,\!</math> tal que:
<math>f\ '(x)= \lim_{x_b \to x_a} \frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a} \,\!</math> onde <math>x_b>x_a \,\!</math>.
Admitindo que o denominador é positivo, ou seja, que <math>x_b>x_a \,\!</math> , nos resta analisar o sinal do resultado no numerador, se <math>f(x_b)>f(x_a) \,\!</math> e portanto, quando a função é crescente no intervalo, teremos <math>f\ '(x) >0 \,\!
No último caso, se <math>f\ '(x)=0 \,\!</math> então a reta que passa pelo ponto <math>[x;f(x)] \,\!</math> é paralela ao eixo ''x'', o que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva; explicando melhor: Se os valores da função estão crescendo e o ponto em questão tem derivada nula, ou a função atinge o maior valor no intervalo, ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento, passando de crescente para decrescente; quando a função está decrescendo passa de decrescente para crescente.
===T19 - Teste da derivada segunda===
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