Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões
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Linha 241:
|título=Teste da derivada segunda
|texto=
Seja a função <math> f(x) \,\!</math>, dizemos que <math>f\ ''(x) \,\!</math> é a derivada segunda, com a qual podemos provar que:
Dado o intervalo <math>[a,b]\,\!</math>, onde existe um número <math>{c}\quad |\quad f\ '(c)=0 \,\!</math>:
|fórmula=
{{destaque|Se <math>f\ ''(x)<0 \,\!</math> então <math>f(c)\,\!</math> fornece o valor máximo no referido intervalo.}}
Ainda poderemos afirmar que:
{{destaque|Se <math>f\ ''(x)>0 \,\!</math> então <math>f(c)\,\!</math> fornece o valor mínimo no referido intervalo.}}
}}
'''Análise:'''
Consideremos a derivada segunda <math>f\ ''(x)=\lim_{x_2 \to x_1} \frac {f\ '(x_2)-f\ '(x_1)}{x_2 - x_1} \,\!</math>.
Tomando o valor de <math>{[(x_2-x_1)>0]} \,\!</math> podemos verificar o que ocorre com o numerador:
Se <math>f\ '(x_2)<f\ '(x_1) \,\!</math> sabemos que a declividade da curva em <math>f(x_2) \,\!</math> é menor que a declividade de <math>f(x_1) \,\!</math>, como em ''c'' temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um máximo, visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de ''c'', ou seja, todos os valores decrescem a medida nos deslocamos no eixo ''x'', portanto <math>f(c) \,\!</math> apenas pode assumir o valor máximo no intervalo.
Se <math>f\ '(x_2)>f\ '(x_1) \,\!</math> sabemos que a declividade da curva em <math>f(x_2) \,\!</math> é maior que a declividade de <math>f(x_1) \,\!</math>, como em ''c'' temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de ''c'', ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo ''x'', portanto <math>f(c) \,\!</math> apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.
===Concavidades===
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