Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/D2: diferenças entre revisões
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A equação de Euler
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<center><math>-\; \frac{
Tanto p quanto v<sub>r</sub> são funções de r e t. Não podemos usar a equação de continuidade na forma canônica, pois o escoamento não está em regime permanente. Mas podemos dizer que a vazão Φ de fluido para dentro do buraco independe de r, sendo função apenas de t. Para integrar a equação de Euler e eliminar r, podemos escrever
<center><math>\Phi \;=\; 4 \pi R ^2 \; v_r \;\;\; \Rightarrow v_r \;=\; \frac{\Phi}{4 \pi R^2}</math></center>
onde R é o raio do buraco, e também uma função de t. Assim,
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial t} \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{R^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; \frac{2 \Phi}{R^3} \; \frac{\partial R}{\partial t} \right) \;=\; \frac{1}{4 \pi R^2} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; \frac{2 \Phi}{R} \; (- \; v_r) \right)</math></center>
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial r} \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{R^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial r} \;-\; \frac{2 \Phi}{R^3} \; \frac{\partial R}{\partial r} \right) \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left(0 \;-\; \frac{2 \Phi}{R^3} \cdot 1 \right) \;=\; \frac{\Phi}{4 \pi R^2} \; \frac{2}{R}</math></center>
Manipulando a equação de Euler:
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial r} \;=\; \rho \left( \frac{1}{4 \pi R^2} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;+\; \frac{2 \Phi \; v_r}{R} \right) \;+\; v_r \frac{\Phi}{4 \pi R^2} \; \frac{2}{R} \right)</math></center>
<center><math>p(R,t) \;-\; p(\infty,t) \;=\; \rho (v(\infty,t)^2 \;-\; v(R,t)^2)</math></center>
Sabemos que
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