Mecânica dos fluidos/Equações básicas para o líquido ideal

Um líquido ideal é um fluido incompressível e invíscido (ou seja, sua viscosidade é nula). Muitos líquidos de interesse têm um comportamento que pode ser razoavelmente aproximado pelo líquido ideal. As equações básicas apresentam uma forma muito simplificada quando comparadas às equações gerais.

Portanto, para um líquido ideal, teremos



Vamos aplicar essa simplificação às equações básicas em suas diversas formas (para sistemas, integral e diferencial) e obter as equações resultantes. É importante que, como estamos tratando de líquidos, adotaremos a convenção de fazer o eixo Z apontar para baixo, e não para cima. Dessa maneira, o eixo X aponta para a direita e o eixo Y aponta para o observador.

Equações básicas em forma diferencial Editar

Equação de continuidade Editar

A equação de continuidade em forma diferencial


 


quando aplicada a um líquido ideal, simplifica-se para


 


Equações de Euler Editar

Conforme visto anteriormente, as equações de Navier-Stokes


 


 


 


 


 


 


derivadas do princípio de conservação do momento linear, descrevem a dinâmica de um volume diferencial de fluido, juntamente com a equação de continuidade, mas são extremamente difíceis de resolver. No caso de um líquido ideal, as equações acima se reduzem a


 


 


 


Que podem ser escritas também na forma mais concisa


 


Essas equações são chamadas de equações de Euler.

Equações de Euler em coordenadas cilíndricas Editar

As equações de Euler em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas a partir da forma concisa, substituindo-se a definição da derivada direcional nesse sistema


 


 


 


 


Equações de Euler em coordenadas esféricas Editar

As equações de Euler em coordenadas esféricas podem ser obtidas da mesma forma:


 


 


 


 


Equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente Editar

As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente podem ser obtidas a partir da forma concisa tomando-se um elemento de volume infinitesimal δV e aplicando-se o princípio de conservação do momento linear na direção do fluxo, após considerar ρ constante e μ = 0. Seja o fluxo normal ao eixo Y e Θ, o ângulo que a linha de corrente faz com a horizontal nesse ponto. A pressão pl- na face posterior do volume será


 


onde p é a pressão no centro do volume. A pressão na face anterior do volume, similarmente, será


 


e a diferença entre as pressões será, evidentemente


 


pressão esta cujo sentido é contrário ao fluxo. O peso do volume terá uma componente na direção do fluxo igual a δm · g · sen Θ, também no sentido contrário a ele. Assim, podemos escrever


 


onde Al é a área transversal ao fluxo e al é a aceleração do volume. Desenvolvendo, teremos


 


Mas, sobre uma linha de corrente


 


Assim


 


No caso de fluxo em regime permanente


 


Procedendo de forma similar para a componente normal à linha de corrente


 


 


Desenvolvendo, teremos


 


Mas a aceleração na direção normal à linha de corrente é a aceleração centrípeta


 


onde r é o raio de curvatura da linha de corrente no ponto considerado. O sinal negativo indica que o elemento de volume está sendo acelerado para dentro da curva. Assim


 


Em regiões onde as linhas de corrente são linhas retas, r = ∞, o que implica em an = 0. Nessas regiões, não há variação de presssão entre as linhas de corrente, pois  .

Exercícios resolvidos Editar