Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Não é mais preciso inserir a navegação manualmente, basta manter a lista de capítulos do livro atualizada. Ver detalhes. |
Correção de typos e formatação geral, typos fixed: adimite → admite utilizando AWB |
||
Linha 1:
{| width="100%" style="border:1px solid #6688AA;-moz-border-radius:1em; background-color:#F0F9FF; padding:1em; width:300px<!--50%-->; float:right; clear:right; " valign="top"|
|-
Linha 58 ⟶ 56:
A partir da noção de congruência módulo um certo inteiro <math>m\,\!</math>, pode-se definir uma relação no conjunto dos números inteiros da seguinte forma:
:<math>x \sim y \Leftrightarrow x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>
Como será mostrado logo a diante, a relação assim definida satisfaz as propriedades de [[w:reflexividade|reflexividade]], [[w:simetria|simetria]], [[w:transitividade|transitividade]], sendo por isso considerada uma [[w:relação de equivalência|relação de equivalência]]:
Linha 140 ⟶ 138:
Para definir uma partição de <math>\mathbb{Z}\,\!</math>, usando a congruência módulo <math>m\,\!</math>, primeiramente define-se para cada inteiro <math>a\,\!</math> a classe de equivalência de <math>a\,\!</math>, segundo <math>\sim\,\!</math>, como:
:<math>[a]_m = \{ x \in \mathbb{Z}; x \equiv a \!\!\!\!\pmod{m}\}\,\!</math>
Quando o inteiro <math>m\,\!</math> estiver subentendido, será utilizado apenas <math>[a]\,\!</math> para denotar <math>[a]_m\,\!</math>.
Linha 154 ⟶ 152:
Deste modo, cada ponto da circunferência representa uma das classes de equivalência módulo <math>n\,\!</math>, ou seja, o conjunto dos números inteiros que ficaram sobrepostos naquele ponto da circunferência.
Mas o que há de interessante em particionar o conjunto dos números inteiros?
A grande utilidade de separar os números inteiros em várias classes de congruência é consequência da compatibilidade da congruência com as operações de adição e multiplicação: Sabendo-se que elas são compatíveis, é possível definir
Linha 175 ⟶ 171:
:<math>\rho: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_m \,\!</math>
:<math>\rho(x) = [x] = [x \!\!\!\!\pmod{m}]\,\!</math>
----
Linha 186 ⟶ 181:
:** 0 + ''a'' = a (0 é a identidade)
:** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' (+ é comutativa)
:** para cada ''a'' em ''R'' existe −''a'' em ''R'' tal que ''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' = 0 (−''a'' é o elemento inverso de ''a'')
:* (''R'', ·) é um monóide com elemento identidade 1, isto é, para todo ''a'', ''b'', ''c'' em ''R'', vale:
:** (''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'') (· é associativa)
Linha 291 ⟶ 286:
O próximo passo é tentar compreender algebricamente os conjuntos <math>( \mathbb{Z}_{m} , + ) \,\!</math>.
{{tarefa|Revisar/reescrever/excluir o trecho a seguir (até onde diz "Corolário da p7").}}
Linha 344 ⟶ 338:
:<math>G = d \mathbb{Z}\,\!</math>
:<math>m \mathbb{Z} \subset d \mathbb{Z} \Leftrightarrow d|m\,\!</math>. Logo <math>H = d \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \,\!</math>
Corolário da p7
Linha 393 ⟶ 386:
** <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math> é um domínio;
** <math>m\,\!</math> é um número primo;
::(propriedades algébricas dos conjuntos <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math> -- anéis regulares --correspondem a propriedades aritméticas dos numeros inteiros <math>m\,\!</math>).
* São também equivalentes:
** <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math> tem divisores de zero;
Linha 422 ⟶ 415:
{{Definição
|A função <math>U_m\,\!</math> de Euler é a função que associa a cada <math>m\,\!</math> o número de elementos de <math>U_m\,\!</math>:
:<math>\phi (m ) = | U_m | \,\!</math>
}}
Linha 481 ⟶ 474:
* <math>\phi (m)\,\!</math> é igual à quantidade de frações próprias não negativas com denominador que estão na forma irredutível.
* <math>m = \sum_{d|m} {\phi (d)} \,\!</math>
{{Justificativa}}
Linha 528 ⟶ 521:
:<math>4(x - 2k) = 5\,\!</math>
É claro que tal equação não
===Exemplo de equação linear com duas soluções===
Linha 552 ⟶ 545:
ou seja, o conjunto das soluções é:
:<math>S = \{ 3, 7 \}\,\!</math>
Em suma, verificou-se através dos exemplos anteriores que é possível encontrar em <math>\mathbb{Z}_8\,\!</math> equações do tipo <math>ax=y\,\!</math> que possuam uma ou duas soluções, e mesmo equações que não adimitem solução. Essa é uma notavel diferença entre corpos (como <math>\mathbb{R}\,\!</math>, <math>\mathbb{Q}\,\!</math> e <math>\mathbb{Z}_p\,\!</math>) e anéis. Por exemplo, em <math>\mathbb{Q}\,\!</math> ou <math>\mathbb{R}\,\!</math> você deve estar habituado a resolver <math>ax=y\,\!</math>, simplesmente dividindo os dois membros por <math>a\,\!</math> (e talvez descrevendo esse procedimento como "passar o <math>a\,\!</math> para o lado direito, dividindo..."). No entanto, é tempo de notar que isso só é possível quando <math>a\,\!</math> possui inverso. Em <math>\mathbb{Q}\,\!</math>, todo número não nulo possui inverso. Mas isso não é verdade em todo anel! Por essa razão torna-se necessário tomar algum cuidado ao resolver equações nos aneis <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math>. Fique atento!
== Exercícios ==
| |||