Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões
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Linha 46:
Seja <math> \{v_1, v_2, ..., v_k \} \;</math> uma base do Ker(T). Existem vetores <math> v_j, \;</math> com j=k+1,...,n onde <math> \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ... v_n \} \;</math> é uma base de V.
* definindo a base da imagem.
Como <math> \{v_1, v_2, ..., v_n \} \;</math> é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos <math>Tv_1, Tv_2, ..., Tv_n \;</math>, mas <math>Tv_1 = Tv_2 = ... = Tv_k = 0 \;</math>, pela definição de núcleo. Assim os vetores <math>Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;</math> geram a imagem de T(V). Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem <math>\exists c_i \in K,</math> tal que <math>\sum_{i=1}^n c_iv_i = 0 \Leftrightarrow c_i=0, i=1,...,n</math>. Tomemos <math>\sum_{i=k+1}^n c_i(Tv_i) = 0 \Leftrightarrow T(\sum_{i=k+1}^n c_iv_i) = 0</math>. Logo <math>w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i \in Ker(T)</math>. Como <math> w \in Ker(T), w = \sum_{i=1}^k b_iv_i, b_i \in K</math>. Portanto <math>w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i = \sum_{i=1}^k b_iv_i \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n c_iv_i - \sum_{i=1}^k b_iv_i = 0</math>. Como <math> v_1, v_2, ..., v_k \;</math> são L.I., então
<math></math>
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