Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões
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Existe uma infinidade de números primos.
=== Demonstrações ===
==== Demonstração de Euclides ====
Considere um conjunto finito de números primos, contendo uma quantidade arbitrária de elementos. Denote tal conjunto por <math>P = \{ p_1, \ldots, p_r\}\,\!</math>.
Seja <math>n = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!</math>. Como <math>n\in \mathbb{N}\,\!</math>, então <math>n\,\!</math> tem algum fator primo <math>p\,\!</math>, ou seja, <math>p|n\,\!</math>.
Se <math>p \in P\,\!</math>, seria verdade que <math>p|1 = n - ( p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r )\,\!</math>, devido a [[../Divisibilidade#Propriedades da divisibilidade|linearidade]] da divisibilidade. Mas nenhum primo divide 1, então <math>p \not\in P\,\!</math>.
Assim, mostrou-se que não importa quantos elementos tenha um certo conjunto <math>P\,\!</math> de números primos, sempre existirá um outro número primo que não está em <math>P\,\!</math>, ou seja, existe uma infinidade de números primos!
===== Exemplos =====
Se o conjunto <math>P\,\!</math> que aparece na demonstração do teorema for constituído dos primeiros <math>r\,\!</math> números primos, então as fatorações de <math>n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!</math> para alguns valores de <math>r\,\!</math> são as seguintes:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!<math>r\,\!</math> || <math>n = 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!</math> || Fatoração de <math>n\,\!</math> || Tipo
|-
|<math>1\,\!</math> || <math>3 = 2+1\,\!</math> || <math>3\,\!</math> || primo
|-
|<math>2\,\!</math> || <math>7 = 2\cdot3 +1\,\!</math> || <math>7\,\!</math> || primo
|-
|<math>3\,\!</math> || <math>31 = 2\cdot3\cdot5 +1\,\!</math> || <math>31\,\!</math> || primo
|-
|<math>4\,\!</math> || <math>211 = 2\cdot3\cdot5\cdot7 +1\,\!</math> || <math>211\,\!</math> || primo
|-
|<math>5\,\!</math> || <math>30031 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 +1\,\!</math> || <math>59\cdot209\,\!</math> || composto
|}
==== Demonstração de Hermite ====
Esta demonstração, assim como algumas outras, é uma variante daquela dada por Euclides. Acompanhe:
Para cada número natural <math>n\,\!</math>, defina-se <math>x(n)=n!+1\,\!</math>.
Como qualquer outro número natural, <math>x(n)\,\!</math> possui algum fator primo <math>p\,\!</math>. No entanto, este fator não pode ser divisor de qualquer número menor ou igual a <math>n\,\!</math>, pois neste caso, dividiria também <math>n!\,\!</math>, e consequentemente seria divisor de <math>1 = x(n) - n!\,\!</math>.
Portanto, <math>p\,\!</math> tem que ser maior do que <math>n\,\!</math>.
Resumindo, dado qualquer inteiro positivo <math>n\,\!</math>, existe um número primo que é maior do que <math>n\,\!</math>, ou seja, o conjunto dos números primos é infinito.
===== Exemplos =====
Uma tabela como a anterior pode ser feita para os números <math>x(n)\,\!</math>. Neste caso, tem-se:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!<math>n\,\!</math> || <math>x(n) = n!+1\,\!</math> || Fatoração de <math>x(n)\,\!</math> || Tipo
|-
|<math>1\,\!</math> || <math>2 = 1+1\,\!</math> || <math>2\,\!</math> || primo
|-
|<math>2\,\!</math> || <math>3 = 1\cdot2+1\,\!</math> || <math>3\,\!</math> || primo
|-
|<math>3\,\!</math> || <math>7 = 1\cdot2\cdot3+1\,\!</math> || <math>7\,\!</math> || primo
|-
|<math>4\,\!</math> || <math>25 = 1\cdot2\cdot3\cdot4+1\,\!</math> || <math>5\cdot5\,\!</math> || composto
|-
|<math>5\,\!</math> || <math>121 = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5+1\,\!</math> || <math>11\cdot11\,\!</math> || composto
|-
| ... || ... || ... || ...
|-
|<math>26951\,\!</math> || (bem grande!) || ... || primo
|}
Um fato curioso é que a última linha da tabela corresponde ao maior número primo da forma <math>n!+1\,\!</math> para valores de <math>n\,\!</math> até 35500.
==== Demonstração de Saidak (2006) ====
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