Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões
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Corolário do T.F.A; a função v_p(n) e a irracionalidade de sqrt(2) |
+equivalência e organização (finalizando o '''conteúdo''' deste capítulo) agora só faltam os exercícios... |
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Linha 288:
Uma consequência deste teorema é que se <math>n = p_1\cdot p_2\cdot p_3 = q_1\cdot q_2\cdot q_3</math> são decomposições em fatores primos do número <math>n</math>, então deve ser possível "cancelar" um a um os fatores que aparecem nas duas fatorações.
Para ser possível tal "cancelamente de termos", será necessário utilizar o resultado de um outro teorema:
''Se um número primo divide o produto de dois números inteiros, então ele é divisor de um dos dois''. <font color=red>(I)</font>
Em vez de demonstrar imediatamente a propriedade acima, será suposto que a mesma é válida e será feita a prova do teorema principal deste capítulo.▼
Este fato já era conhecido por [[w:Euclides|Euclides]]. A estrutura aditiva de <math>\mathbb{Z}\,\!</math> será crucial na demonstração desta propriedade e consequentemente, do teorema fundamental da aritmética.
▲Em vez de demonstrar imediatamente a propriedade
;Observação:
Linha 311 ⟶ 315:
Assim, a fatoração de <math>n\,\!</math> é única.
[[Categoria: Teoria de números|{{SUBPAGENAME}}]]▼
== Corolário ==
Linha 323 ⟶ 324:
:<math>n = \prod_{p} p^{e_p}\,\!</math>, com <math>e_i=0\,\!</math>, exceto para uma quantidade finita de <math>p\,\!</math>'s.
A demonstração dessas afirmações é elementar.
=== Aplicação ===
A partir dessa notação pode-se definir uma função <math>v_p:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\,\!</math> escolhendo <math>v_p(n)=e_p\,\!</math>.
Verifica-se que a função acima definida goza das seguintes propriedades:
Linha 341 ⟶ 344:
Logo, <math>\sqrt{2}\,\!</math> só pode ser irracional.
=== Uma equivalência ===
Como foi mostrado, a propriedade <code><font color=red>(I)</font></code> implica no teorema fundamental da aritmética. Na verdade, supondo o teorema fundamental da aritmética, pode ser provada a propriedade <code><font color=red>(I)</font></code>. Veja:
Suponha que <math>p|ab\,\!</math>. Então, pela definição de divisibilidade, existe algum número inteiro <math>x\,\!</math> tal que <math>ab=px\,\!</math>.
Mas <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> possuem decomposição em fatores primos, então:
:<math>a = p_1\cdot\ldots\cdot p_r\,\!</math> e
:<math>b = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!</math>
Logo, <math>px = ab = (p_1\cdot\ldots\cdot p_r) \cdot (q_1\cdot\ldots\cdot q_s)\,\!</math>, ou seja, <math>p\,\!</math> precisa ser um dos <math>p_j\,\!</math>'s ou um dos <math>q_j\,\!</math>'s.
No primeiro caso, conclui-se que <math>p|a\,\!</math>, e no segundo <math>p|b\,\!</math>.
== Exercícios ==
Por enquanto, ainda não foram adicionados exercícios sobre este capítulo. O leitor está convidado a adicionar alguns exercícios nesta seção, para ajudar a melhorar o texto.
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