Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões

 

== Teorema da existência de fatoração ==

Todo número inteiro positivo tem decomposição em fatores primos.

;Demonstração

 

 

== Teorema de Euclides ==

Existe uma infinidade de números primos.

=== Demonstrações ===

==== Demonstração de Euclides ====

 

== Teorema fundamental da aritmética ==

A decomposição de um número inteiro <math>n \in \mathbb{N}^*\,\!</math> em fatores primos é única, exceto pela ordem. Em símbolos:

 

Se <math>p_1\cdot\ldots\cdot p_r = n = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!</math>, e cada <math>p_j\,\!</math> e todo <math>q_j\,\!</math> é um número primo, então <math>r=s\,\!</math> e para cada <math>j\,\!</math> tem-se <math>p_j = q_{\sigma(j)}\,\!</math>, para alguma permutação <math>\sigma\,\!</math>.

Para ser possível tal "cancelamente de termos", será necessário utilizar o resultado de um outro teorema:

 

 

Este fato já era conhecido por [[w:Euclides|Euclides]]. A estrutura aditiva de <math>\mathbb{Z}\,\!</math> será crucial na demonstração desta propriedade e consequentemente, do teorema fundamental da aritmética.