Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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+resolução do problema proposto |
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Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros <math>r,s\,\!</math> tais que <math>ar+bs=d\,\!</math>. Logo, multiplicando cada membro por <math>n'\,\!</math>, tem-se:
:<math>n'(ar+bs)=n'd=n\,\!</math>
ou seja, basta tomar <math>x=n'r\,\!</math> e <math>y=n's\,\!</math>, e <math>(x,y)\,\!</math> será uma solução.
Resta determinar a forma geral de todas as demais soluções.▼
Se <math>(x_0,y_0)\,\!</math> for uma solução conhecida, qualquer outra solução <math>(x,y)\,\!</math> satizfaz:
:<math>n = ax+by=ax_0+by_0\,\!</math>
Então <math>a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\,\!</math>, ou seja, <math>a(x-x_0)=-b(y-y_0)\,\!</math>.
* <math>a=a'd\,\!</math>
* <math>b=b'd\,\!</math>
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Assim como acontece em problemas que envolvem [[w:equações diferenciais|equações diferenciais]], para determinar o [[w:conjunto solução|conjunto solução]] de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, <math>ax+by=0\,\!</math>)
Agora é possível resolver o problema proposto no início.
=== Aplicação ===
Será que existem números inteiros <math>x,y,n\,\!</math> que verificam <math>2x+5y=n\,\!</math>?
Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portant infinitas) é preciso que <math>(2,5)|n\,\!</math>.
Pelo algoritmo de Euclides obtem-se <math>(2,5)=1\,\!</math>, além de <math>2\cdot (-2) + 5\cdot 1 = 1\,\!</math>. Multiplicando ambos os membros por <math>n\,\!</math>, segue que:
:<math>2\cdot (-2n) + 5\cdot n = n\,\!</math>
Assim, as demais soluções são da forma:
* <math>x = -2n + 5t\,\!</math>
* <math>y = n - 2t\,\!</math>
No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:
* <math>-2n + 5t\ge 0\,\!</math>
* <math>n - 2t\ge 0\,\!</math>
que são equivalentes a
:<math>\frac{2}{5}n \le t \le \frac{n}{2}\,\!</math>
Para que exista algum valor inteiro <math>t\,\!</math> nesse intervalo, é suficiente que <math>\frac{n}{2} - \frac{2}{5}n \ge 1\,\!</math>, ou seja,
:<math>n = 5n - 4n\ge 10\,\!</math>
Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de <math>n<10\,\!</math> também há soluções:
* <math>4 = 2+2\,\!</math>
* <math>5 = 5+0\,\!</math>
* <math>6 = 2+2+2\,\!</math>
* <math>7 = 5+2\,\!</math>
* <math>8 = 2+2+2+2\,\!</math>
* <math>9 = 5+2+2\,\!</math>
A conclusão final é que, utilizando apenas notas de <math>2\,\!</math> e de <math>5\,\!</math> é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a <math>4\,\!</math>.
=== Interpretação geométrica ===
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O curioso é que o ponto desta reta que é obtido pelo algoritmo de Euclides, na busca pelo <math>(a,b)\,\!</math> é justamente aquele que está mais próximo da origem (entre os que possuem coordenadas inteiras).
{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d\,\!</math>, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.}}
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