Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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correções; + texto sobre compatibilidade de operações com relações de equivalências. |
+formatação; +conclusão de uma demonstração |
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=== Compatibilidade com as operações ===
Um fato importante, que não pode deixar de ser mencionado é que a relação de congruência é '''compatível''' com as operações do anel dos números inteiros, a saber, a adição e a multiplicação. Uma operação <math>\star\,\!</math>é compatível com uma relação de equivalência <math>\sim\,\!</math> quando
:<math>\left\{\begin{matrix}
a & \sim & a'\\
b & \sim & b'\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
pode-se concluir que
No caso da relação de congruência, vê-se que a mesma é compatível tanto com a adição quanto com a multiplicação de números inteiros, pois se <math>a\sim a'\,\!</math> e <math>b\sim b'\,\!</math>, então:▼
:<math>a \star b\sim a' \star b'\,\!</math>
▲No caso da relação de congruência, vê-se que a mesma é compatível tanto com a adição quanto com a multiplicação de números inteiros,
{{Teorema|texto=Se <math>a, a', b, b'\,\!</math> são números inteiros tais que:
:<math>\left\{\begin{matrix}
a \equiv a' \!\!\!\!\pmod{m}\\
b \equiv b' \!\!\!\!\pmod{m}\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
então:
:<math>\left\{\begin{matrix}
a + b \equiv a' + b' \!\!\!\!\pmod{m}\\
a b \equiv a' b' \!\!\!\!\pmod{m}\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
}}
A verificação deste resultado é bem simples, como se pode ver a seguir.
{{Demonstração|
Primeiramente, da hipótese sobre os inteiros <math>a, a', b, b'\,\!</math>, segue que existem inteiros <math>A, B \in \mathbb{Z}\,\!</math>, tais que
:<math>\left\{\begin{matrix}
a - a' = mA\\
b - b' = mB\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
Donde,
:<math>(a + b) - (a' + b')= m(A + B)\,\!</math>.
ou seja,
:<math>a + b \equiv a' + b' \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>.
Além disso,
:<math>ab = (a'+mA)(b'+mB) = a'b' + a'mB + b'mA + m^2AB = a'b' + mC\,\!</math>
onde
:<math>C = a'B + b'A + mAB\,\!</math>
Logo,
:<math>ab - a'b' = mC\,\!</math>
ou seja,
:<math>ab \equiv a'b' \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>
}}
== Exercícios ==
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