Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 328:
=== Divisibilidade por 11 ===
{{Teorema|texto=Um inteiro não negativo é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada dos seus dígitos é divisível por 11.}}
{{Demonstração|
Como antes, considere <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_n 10^k\,\!</math> um número inteiro positivo. Pode-se proceder como antes para obter o resultado. Primeiramente, observe a relação entre as primeiras potências de 10 e o número 11:
:<math>10^0 = 11\times 0 + 1 \,\!</math>
:<math>10^1 = 11\times 1 - 1 \,\!</math>
:<math>10^2 = 11\times 9 + 1 \,\!</math>
:<math>10^3 = 11\times 91 - 1 \,\!</math>
:<math>10^4 = 11\times 909 + 1 \,\!</math>
É razoável esperar que o padrão continue, ou seja, que nas potências pares se tenha <math>10^k = 11\times B_k + 1 \,\!</math> para algum inteiro <math>B_k\,\!</math>, e nas potências ímpares se tenha <math>10^k = 11\times B_k - 1 \,\!</math> para algum inteiro <math>B_k\,\!</math>.
No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo [[w:Número de Fermat|número da forma <math>F_{n} = 2^{2^{n}} + 1</math>]] é [[../Números primos#Definição de número primo|primo]]), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que:
:<math>10^k = 11\times B_k + (-1)^k \,\!</math>, para algum inteiro <math>B_k\,\!</math>.
{{demonstração}}
Uma vez que o padrão foi justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior:
:<math>m = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k = \sum_{k=0}^{n} a_k (11\times B_k + (-1)^k) = \sum_{k=0}^{n} 11 a_k B_k + a_k(-1)^k = 11 \sum_{k=0}^{n} a_k B_k + \sum_{k=0}^{n} a_k(-1)^k\,\!</math>
ou seja,
:<math>m = 3 B + A\,\!</math>, onde <math>B = \sum_{k=0}^{n} a_k B_k\,\!</math> e <math>S = \sum_{k=0}^{n} a_k(-1)^k\,\!</math> é a soma alternada dos dígitos de <math>m\,\!</math>.
Deste modo, se <math>11|m\,\!</math>, então <math>11|m-11B = A\,\!</math>.
Analogamente, se <math>11|A\,\!</math> tem-se <math>11|11B + A = m\,\!</math>.
}}
== Exercícios ==
| |||