Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
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A ''estrutura aditiva'' dos números inteiros é trivial. Acompanhe os exemplos:
<center>
:<math>\mathbf{-2}=-1-1</math>▼
{| class="wikitable" style="text-align:center"
:<math>\mathbf{-1}</math>▼
|-
:<math>\mathbf{0}=1-1</math>▼
|width="80px"| -2
:<math>\mathbf{1}</math>▼
|width="80px"| -1
:<math>\mathbf{2}=1+1</math>▼
|width="80px"| 0
:<math>\mathbf{3}=2+1=(1+1)+1</math>▼
|width="80px"| 1
|width="80px"| 2
|width="80px"| 3
|width="80px"| 4
|width="80px"| <math>\ldots\,\!</math>
|-
|<math>1-1</math>
|}
</center>
Como se pode observar, qualquer número inteiro pode ser "formado aditivamente" a partir do número 1. Nesse sentido, a unidade é o "bloco básico" a partir do qual são construídos todos os números inteiros, usando-se as propriedades da operação de adição (como por exemplo a [[w:associatividade|associatividade]] e a existência de [[w:elemento oposto|elemento oposto]]).
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Já a estrutura multiplicativa de <math>\mathbb{Z}</math> é muito mais sofisticada. Veja alguns exemplos:
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
▲:<math>\mathbf{4}=2\cdot 2</math>
|width="80px"| 2
|width="80px"| 3
:<math>\mathbf{6}=2\cdot 3</math>▼
|width="80px"| 4
|width="80px"| 5
:<math>\mathbf{8}=2\cdot 2\cdot 2</math>▼
|width="80px"| 6
:<math>\mathbf{9}=3\cdot 3</math>▼
|width="80px"| 7
:<math>\mathbf{10}=2\cdot 5</math>▼
|width="80px"| 8
|width="80px"| 9
:<math>\mathbf{12}=2\cdot 2\cdot 3</math>▼
|width="80px"| 10
|width="80px"| 11
|width="80px"| 12
|width="80px"| <math>\ldots\,\!</math>
|-
| bloco básico
| bloco básico
| <math>2\cdot 2\,\!</math>
| bloco básico
| bloco básico
| bloco básico
| <math>\ldots\,\!</math>
|}
</center>
Como deve ter percebido, quando se trata da operação de multiplicação, não existe um ''único'' bloco básico que gere todos os outros números. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 não têm como ser obtidos a partir da multiplicação de dois números inteiros (além de 1 e eles próprios), mas permitem gerar outros números: <math>6=2\cdot 3</math>, <math>10=2\cdot 5</math> e assim por diante. Parece razoável que todos os inteiros podem ser gerados dessa maneira, bastando encontrar os blocos básicos adequados.
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Dado um numero inteiro <math>b\,\!</math> (chamado de base), maior do que a unidade, cada inteiro positivo <math>a\,\!</math> pode ser escrito de uma única maneira como
:<math>a = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot b + a_0\,\!</math>
de modo que cada inteiro <math>a_i\,\!</math> verifique <math>
}}
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