Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Área do triângulo interior a outro triângulo, interior ao quadrado

Descrição do problemaEditar

O vértice   de um triângulo eqüilátero   está no interior de um quadrado  , e   é o ponto de interseção da diagonal   e o lado  . Se a medida de   é igual a   , então calcule a área do triângulo  .

Uma soluçãoEditar

Como em todo problema de Geometria Plana, é possível montar uma figura para auxiliar o entendimento do problema.

 
Figura 1

Antes de mais nada, vamos traçar uma reta perpendicular ao lado AB (que intercepta esse lado no ponto H) e outra perpendicular ao lado BE (interceptando BE no ponto G), ambas passando pelo ponto F. Assim, podemos montar a segunda imagem:

 
Figura 2

Note que a área do triângulo BEF pode ser encontrada através da fórmula clássica  , com base igual ao lado do quadrado (número já fornecido) e altura a ser calculada. Então, vamos aos cálculos!

Inicialmente, vamos trabalhar com os ângulos. Note que os triângulos   e   são semelhantes, pois:

 º

 º

 º

Olhe ainda os ângulos:

 º

 º

 º


Pelo Teorema de Tales, o ângulo   é igual ao ângulo  . Como o ângulo  º, tem-se que o ângulo  º. Logo, o ângulo  º (note que  º) e, portanto, o ângulo  º. Agora, provamos que o triângulo   é isósceles, com  .

Agora podemos usar um pouco de trigonometria. Mas, antes, algumas notações:

 

 

 

 

 

 

  altura do triângulo  

 

Pela trigonometria no triângulo retângulo,   e  . Logo:

   

Agora a altura:

 

 

Finalmente, a área do triângulo  :

 


Como  :


 


E termina-se o problema.


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